משפט הפרפר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
נתון: M אמצע PQ, צ"ל: MX=MY

משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית.

יהי PQ מיתר נתון כלשהו במעגל, ש-M היא נקודת האמצע שלו. נעביר דרך M שני מיתרים נוספים, AB ו-CD, כך ש-A ו-C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD ו-BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X וב-Y בהתאמה. המשפט קובע כי מתקיים MX=MY.

המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר. למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו.[דרוש מקור] למרות הניסוח הפשוט של המשפט, הוא קשה להוכחה. בשל כך הוא ידוע גם כ"בעיית הפרפר".

הוכחה

נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה: S=absinγ2.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר: CDA=CBA, DAB=DCB, AMX=BMY, CMY=DMX

כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:

SXAMSMCY=AXAMCMCY
SCMYSDMX=CMMYDMMX
SXDMSMBY=DXDMBMBY
SBMYSAMX=BMMYAMMX

הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל

AXDXMY2CYBYMX2=1, או (1) AXDXCYBY=MX2MY2.

לפי דרגה של נקודה: AXDX=PXQX=(MPMX)(MQ+MX)

ובדומה לכך: CYBY=QYPY=(MQMY)(MP+MY)

נציב ב-(1): (MPMX)(MQ+MX)MX2=(MQMY)(MP+MY)MY2

אבל MP=MQ, ולכן מתקבל: MP2MX21=MP2MY21 ומכאן MX=MY.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא משפט הפרפר בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הפרפר28408435Q377047