משפט הפרפר

משפט הפרפר: $ MX=MY $

משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית.

”נתון PQ מיתר כלשהו במעגל, ש-M היא נקודת האמצע שלו. מעבירים דרך M שני מיתרים נוספים AB,CD כך ש-A,C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD,BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X,Y בהתאמה. אזי מתקיים MX=MY.”

המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר. למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו. למרות ניסוחו הפשוט של המשפט, הוא קשה להוכחה. בשל כך הוא ידוע גם כ"בעיית הפרפר".

הוכחה

נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה: $ S={\frac {ab\sin(\gamma )}{2}} $ .

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר

$ \angle CDA=\angle CBA\ ,\quad \angle DAB=\angle DCB\ ,\quad \angle AMX=\angle BMY\ ,\quad \angle CMY=\angle DMX $

כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:

$ {\begin{aligned}{\frac {S_{XAM}}{S_{MCY}}}&={\frac {AX\cdot AM}{CM\cdot CY}}\\{\frac {S_{CMY}}{S_{DMX}}}&={\frac {CM\cdot MY}{DM\cdot MX}}\\{\frac {S_{XDM}}{S_{MBY}}}&={\frac {DX\cdot DM}{BM\cdot BY}}\\{\frac {S_{BMY}}{S_{AMX}}}&={\frac {BM\cdot MY}{CM\cdot CY}}\end{aligned}} $

הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל

$ {\frac {AX\cdot DX\cdot MY^{2}}{CY\cdot BY\cdot MX^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad {\frac {AX\cdot DX}{CY\cdot BY}}={\frac {MX^{2}}{MY^{2}}}\quad (1) $.

לפי חזקה של נקודה:

$ AX\cdot DX=PX\cdot QX=(MP-MX)(MQ+MX) $

ובדומה לכך:

$ CY\cdot BY=QY\cdot PY=(MQ-MY)(MP+MY) $

נציב ב-(1):

$ {\frac {(MP-MX)(MQ+MX)}{MX^{2}}}={\frac {(MQ-MY)(MP+MY)}{MY^{2}}} $

$ MP=MQ $ ולכן מתקבל:

$ {\frac {MP^{2}}{MX^{2}}}-1={\frac {MP^{2}}{MY^{2}}}-1\quad \Rightarrow \quad MX=MY $

$ \blacksquare $

קישורים חיצוניים

• משפט הפרפר באתר cut-the-knot (באנגלית)
• אבי סינגלר, משפט "עניבת הפרפר" במעגל ובאליפסה