משפט הפרפר

נתון: M אמצע PQ, צ"ל: MX=MY

משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית.

יהי PQ מיתר נתון כלשהו במעגל, ש-M היא נקודת האמצע שלו. נעביר דרך M שני מיתרים נוספים, AB ו-CD, כך ש-A ו-C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD ו-BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X וב-Y בהתאמה. המשפט קובע כי מתקיים MX=MY.

המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר. למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו.^{[דרוש מקור]} למרות הניסוח הפשוט של המשפט, הוא קשה להוכחה. בשל כך הוא ידוע גם כ"בעיית הפרפר".

הוכחה

נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה: $S=\frac{ab\sin \gamma }{2}$.

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר: $\mathrm{\angle }CDA=CBA$, $\mathrm{\angle }DAB=DCB$, $\mathrm{\angle }AMX=BMY$, $\mathrm{\angle }CMY=DMX$

כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:

$\frac{S_{XAM}}{S_{MCY}}=\frac{AX\cdot AM}{CM\cdot CY}$

$\frac{S_{CMY}}{S_{DMX}}=\frac{CM\cdot MY}{DM\cdot MX}$

$\frac{S_{XDM}}{S_{MBY}}=\frac{DX\cdot DM}{BM\cdot BY}$

$\frac{S_{BMY}}{S_{AMX}}=\frac{BM\cdot MY}{AM\cdot MX}$

הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל

$\frac{AX\cdot DX\cdot M{Y}^2}{CY\cdot BY\cdot M{X}^2}=1$, או (1) $\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY}=\frac{M{X}^2}{M{Y}^2}$.

לפי דרגה של נקודה: $AX\cdot DX=PX\cdot QX=(MP-MX)(MQ+MX)$

ובדומה לכך: $CY\cdot BY=QY\cdot PY=(MQ-MY)(MP+MY)$

נציב ב-(1): $\frac{(MP-MX)(MQ+MX)}{M{X}^2}=\frac{(MQ-MY)(MP+MY)}{M{Y}^2}$

אבל MP=MQ, ולכן מתקבל: $\frac{M{P}^2}{M{X}^2}-1=\frac{M{P}^2}{M{Y}^2}-1$ ומכאן MX=MY. $◼$

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט הפרפר בוויקישיתוף

• משפט הפרפר באתר cut-the-knot (באנגלית)
• אבי סינגלר, משפט "עניבת הפרפר" במעגל ובאליפסה
• משפט הפרפר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הפרפר28408435Q377047