חזקה של נקודה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף דרגה של נקודה)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בגאומטריה, חזקה של נקודה ביחס למעגל נתון בעל רדיוס r היא הגודל h=s2r2 , כאשר s הוא מרחק הנקודה ממרכז המעגל.

החזקה מוגדרת כאשר הנקודה נמצאת במישור של המעגל. החזקה של נקודות הנמצאות מחוץ למעגל היא מספר חיובי, בתוכו שלילי, ועל המעגל 0.

החזקה שווה למכפלת אורכי הקטעים המתקבלים מחיתוך ישר דרך הנקודה עם המעגל, כאשר מכוונים את הקטעים כראוי, ואינה תלויה בבחירת הישר. בשרטוט, החזקה היא המכפלה

h=|PM||PN|=|PA||PB|

המושג נטבע ונחקר על ידי יאקוב שטיינר.

הגדרות נוספות

אם הנקודה מחוץ למעגל, החזקה שלה שווה לריבוע אורך המשיק למעגל היוצא ממנה. עובדה זו נובעת ממשפט פיתגורס: PTO משולש ישר-זווית, ולכן

|PT|2+|TO|2=|PO|2
המקום הגאומטרי של כל הנקודות בעלות אותה חזקה במרחב: פרבולואיד

אם נסתכל על המעגל במערכת צירים קרטזית כמעגל קנוני שרדיוסו r , נקבל שהחזקה של נקודה (x,y) היא:

((x0)2+(y0)2)2r2=x2+y2r2

מכך ניתן לראות שאם נשרטט במרחב את המקום הגאומטרי של כל הנקודות שחזקתן שווה, נקבל פרבולואיד.

שימושים

ניתן להשתמש בחזקה כדי להגדיר מקומות גאומטריים הקשורים למעגל. למשל, ציר רדיקלי הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שחזקתן ביחס לשני מעגלים נתונים היא שווה.

קישורים חיצוניים

חזקה_של_נקודה19103079Q898575