משפט הערך ההתחלתי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס.[1]

ניסוח פורמלי

תהי F(s) התמרת לפלס של פונקציה ממשית f(t), כלומר F(s)=0f(t)estdt. אם f חסומה בתחום הפתוח (0,) והגבול limt0+f(t) קיים, אזי מתקיים limt0+f(t)=limssF(s).[2]

הוכחה

f(t) חסומה והגבול limt0+f(t) קיים, כלומר limt0+f(t)=α. באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל 0<t ש־limsf(ts)=α[3] וכן ש־sF(s)=0f(ts)etdt.[4]

נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה:

limssF(s)=lims0f(ts)etdt

הפונקציות f(ts)et חסומות כולן על ידי הפונקציה Met (עבור M גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן (0,). בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה αet. על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול:

limssF(s)=lims0f(ts)etdt==0limsf(ts)etdt=0αetdt=α

ולכן:

limt0+f(t)=limssF(s)

מ.ש.ל

ראו גם

הערות שוליים

  1. Fourier and Laplace transforms. R. J. Beerends. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-511-67510-2. OCLC 593333940.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: others (link)
  2. Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567.
  3. t=us
    t0+,s
    limsf(us)=αlimsf(ts)=α
  4. F(s)=0f(t)estdt
    sF(s)=s0f(t)estdt
    t=us
    t0,u0
    t,u
    dt=dus
    sF(s)=s0f(us)eudus=0f(us)eudu=0f(ts)etdt
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הערך ההתחלתי38995252Q4272300