משפט ההתכנסות המונוטונית
בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט על האינטגרל של סדרה עולה של פונקציות מדידות ואי-שליליות. לפי המשפט, במקרה זה האינטגרל של הגבול שווה לגבול האינטגרלים.
זהו משפט יסודי וחשוב בתורת המידה, ויש לו השלכות רבות, כדוגמת הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות הנשלטת.
ניסוח
יהי $ \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right) $ מרחב מידה. תהי $ \ f_{1},f_{2},\dots $ סדרת פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, המקיימות $ \left|f_{n}\right|\leq \left|f_{n+1}\right| $ לכל $ n=1,2,\dots $ כמעט בכל מקום. נכתוב $ f=\lim _{n\to \infty }f_{n} $ (נשים לב שממונוטוניות גבול זה קיים, גם אם אולי אינסופי). אז מתקיים $ \ \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}d\mu =\int _{X}fd\mu $.
הוכחה
ראשית יש לשים לב כי הגבול $ f(x):=\lim _{n\rightarrow \infty }{{f}_{n}(x)} $ קיים בכל נקודה (סופי או אינסופי), כי הסדרה מונוטונית.
הכיוון $ \geq $ ברור, כי $ f\geq f_{n} $ לכל $ n $, ולכן ממונוטוניות האינטגרל $ \int {f}\geq \int {{f}_{n}} $, ולכן גם $ \int {\lim _{n\rightarrow \infty }{{f}_{n}}}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {{f}_{n}}} $.
לצורך הכיוון $ \leq $, מספיק להראות (לפי הגדרת אינטגרל לבג) כי לכל פונקציה פשוטה $ \phi \leq f $ ולכל $ 0<a<1 $ מתקיים $ \int {a\phi }\leq \lim _{n\rightarrow \infty }{\int {{f}_{n}}} $ (כי אז נשאיף $ a\rightarrow 1^{-} $).
יהי $ {A}_{n}={({f}_{n}-a\phi )}^{-1}([0,\infty ]) $, קבוצה מדידה. גם $ A_{n}\subseteq A_{n+1} $ ממונוטוניות, ו-$ \bigcup _{n=1}^{\infty }{{A}_{n}}=X $ - אכן, אם $ x\in X,\phi (x)=0 $ אז $ x\in A_{1} $; אחרת $ f(x)>a\phi (x) $ ומהשאיפה $ f_{n}\rightarrow f $ נובע שקיים $ n $ כך ש-$ f_{n}(x)>a\phi (x) $, כלומר $ x\in A_{n} $.
לכן, $ \int _{X}{\phi }=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{{A}_{n}}{\phi }} $. כעת, $ \int _{X}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{{f}_{n}}\geq \int _{{A}_{n}}{a\phi } $ וביחד מקבלים $ \lim _{n\rightarrow \infty }{\int _{X}{{f}_{n}}}\geq \int _{X}{a\phi } $ כדרוש.