משפט הבסיס של הילברט

במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם $R$ חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל R מקיים את אותה תכונה. בפרט, אם $k$ הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים $k[x_1,\dots ,x_n]$ נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888.

בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים.

המשפט תקף לגבי חוג בסיס לאו דווקא קומוטטיבי, ואזי את תכונת הנותריות יש להחליף באחת מבין התכונות: נותריות שמאלית, ימנית או חלשה (תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דו-צדדיים). כל אחת מהן 'עולה' מ-$R$ ל-$R[x]$.

למשפט גרסה במשתנים לא-קומוטטיביים אותה הוכיח שמשון עמיצור: באלגברה החופשית במספר סופי של יוצרים מעל תחום קומוטטיבי נותרי, כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים שהמנות ביחס אליהם משוכנות במטריצות מעל חוג קומוטטיבי (מסדרים חסומים – כלומר דרגות PI חסומות) מתייצבת.

למקרה של חוגי פולינומים מעוותים (skew-polynomial rings) ניתנו מספר הרחבות, בידי Singh ואחרים.

הוכחה

יהי $R$ חוג נתרי שמאלי. נניח בשלילה שהחוג $R[x]$ אינו נתרי שמאלי. לכן קיים אידיאל שמאלי $I⊴R[x]$ שאינו נוצר סופית. נבנה סדרה של פולינומים $\{f_0,f_1,\dots \}$ באופן רקורסיבי: תחילה נבחר פולינום $f_0\ne 0$ ב-$I$ ממעלה מינימלית. יהי $n$ מספר טבעי, ונניח שנתונים האיברים $f_0,f_1,\dots ,f_{n-1}$. יהי $I_n$ האידיאל השמאלי הנוצר על ידי $f_0,f_1,\dots ,f_{n-1}$. נבחר את $f_n$ להיות איבר כלשהו של $I\setminus I_n$ ממעלה מינימלית. איבר כזה קיים לפי ההנחה ש-$I$ לא נוצר סופית. מכאן שהסדרה $\{\mathrm{deg}(f_0),\mathrm{deg}(f_1),\dots \}$ היא סדרה לא יורדת של שלמים אי שליליים. יהי $a_n$ המקדם המוביל של $f_n$ ויהי $J$ האידיאל השמאלי של $R$ הנוצר על ידי $a_0,a_1,\dots$. מכיוון ש-$R$ חוג נתרי, שרשרת האידיאלים $(a_0)\subset (a_0,a_1)\subset (a_0,a_1,a_2)\subset \cdots$ מתייצבת. לכן קיים $N$ טבעי שעבורו $J=(a_0,a_1,\dots ,a_{N-1})$. בפרט קיימים איברים $u_0,u_1,\dots ,u_{N-1}\in R$ כך ש-$a_N=\sum _{i<N}{u}_i{a}_i$.

נגדיר את הפולינום: $g=\sum _{i<N}{u}_i{x}^{\mathrm{deg}{f}_N-\mathrm{deg}{f}_i}{f}_i$. ל-$g$ ול-$f_N$ יש אותה מעלה ואותו מקדם מוביל. יתר על כן, $g\in I_N$. מצד שני, $f_N\in I\setminus I_N$. לכן $f_N-g\in I\setminus I_N$ והמעלה שלו קטנה יותר מזו של $f_N$, בסתירה למינימליות.

לקריאה נוספת

• Lang, Serge (1997). Algebra, 3rd ed., reprint w/ corr., Addison-Wesley. מסת"ב 978-0-201-55540-0.

קישורים חיצוניים

• משפט הבסיס של הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הבסיס של הילברט41309278Q656645