משפט דה גואה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
פירמידה עם פינה ישרה

משפט דה-גואה הוא משפט בגאומטריה המהווה הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים. המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן פול דה-גואה דה-מלבס. המשפט קובע שאם בפירמידה יש פינה ישרה (שלוש הזוויות היוצרות את הפינה, הן זוויות ישרות, ראו תמונה משמאל) אז סכום ריבועי השטחים היוצרים את הפינה הישרה שווה לריבוע שטח הפאה הרביעית.

AreaABO2+AreaACO2+AreaBCO2=AreaABC2

ניתן להכליל את משפט פיתגורס ואת משפט דה-גואה גם לממדים גבוהים יותר משלוש.

הוכחות

הוכחה גאומטרית

הוכחת משפט דה-גואה

נעביר אנך מהקודקוד O החותך את הפאה ABC בנקודה H ואנך מ-C החותך את הישר AB בנקודה K. (CK עובר דרך הנקודה H). אזי מתקיים: HKOK=OKCK (כי שני הביטויים מייצגים את קוסינוס הזווית שבין המישורים AOB ו ACB). מהשיווין הקודם נקבל כי AreaABCAreaAHB=CKAB2HKAB2=AreaAOB2. באותו אופן מראים כי AreaABCAreaBHC=AreaBOC2 וְ- AreaABCAreaAHC=AreaAOC2. לאחר סיכום שלושת השוויונים הנ"ל ומכיוון ש AreaAHB+AreaBHC+AreaCHA=AreaABC נקבל: AreaABO2+AreaACO2+AreaBCO2=AreaABC2. מ.ש.ל.

הוכחה אנליטית

נצייר מערכת צירים קרטזית בשלושה ממדים. נסמן: OA=a,OB=b,OC=c. נזהה את הנקודה O עם ראשית הצירים ואת הנקודות A,B,C עם הווקטורים (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c). שטח המשולש ABC שווה למחצית המכפלה וקטורית של הווקטורים AB ו AC ולכן:

AreaABC2=(12AB×AC)2=14(bc,ac,ab)2=14(b2c2+a2c2+a2b2)=AreaBOC2+AreaAOC2+AreaAOB2

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט דה גואה31203640Q1202608