משפט בראהמגופטה

דיאגרמה להוכחה

בגאומטריה אוקלידית, משפט בראהמגופטה הוא משפט עבור מרובע בר-חסימה שאלכסוניו ניצבים זה לזה.

יהי מרובע בר-חסימה בעל קודקודים $A,B,C,D$ כאשר אלכסוניו $AC,BD$ ניצבים זה לזה ונפגשים בנקודה $M$ .

נעביר אנך $EF$ ל-$BC$ דרך $M$ , כאשר $E$ על $BC$ ו-$F$ על $AD$ . אזי $F$ אמצע $AD$ .

הוכחה

הוכחת המשפט

$\sphericalangle CAD=\sphericalangle CBD$ כזוויות הקפיות הנשענות על אותה הקשת.

$\sphericalangle CBM=\sphericalangle CME$ כזוויות משלימות ל-$\sphericalangle ECM$ .

$\sphericalangle CME=\sphericalangle AMF$ כזוויות קודקודיות.

$\sphericalangle AMF=\sphericalangle MAF$ . לכן $\mathrm{△}AFM$ שווה-שוקיים. לכן $AF=FM$ .

$\sphericalangle ACB=\sphericalangle ADB$ כזוויות הקפיות הנשענות על אותה הקשת.

$\sphericalangle BCM=\sphericalangle BME$ כזוויות משלימות ל-$\sphericalangle CBM$ .

$\sphericalangle BME=\sphericalangle DMF$ כזוויות קודקודיות.

$\sphericalangle DMF=\sphericalangle MDF$ . לכן $\mathrm{△}DFM$ שווה-שוקיים. לכן $FD=FM$ .

לכן $AF=FD$ .