משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)

בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין $p$ תהיה ציקלית מסדר $p$. בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.

המשפט

תהי $L/K$ הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר $\mathrm{char}K=p$. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר $p$ אם ורק אם $L=K(\alpha )$ עבור $\alpha \in L\setminus K$ המקיים ${\alpha }^p-\alpha \in K$.

הוכחה

כיוון אחד: נניח $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ מעגלית מסדר $p$. יהי $\sigma$ יוצר שלה. אז

$\mathrm{Tr}(-1)=-1+\sigma (-1)...+{\sigma }^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0$

ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש $\alpha \in L$ כך ש-$\alpha -\sigma (\alpha )=-1$. מכאן $\sigma (\alpha )=\alpha +1$ ומכאן ${\sigma }^j(\alpha )=\alpha +j$. אז $\alpha \notin K$ כי $\sigma (\alpha )\ne \alpha$, וכיוון ש-$[K(\alpha ):K]=p$ אז $[K(\alpha ):K]|p$ ולכן

$p=|G|=[L:K]=[L:K(\alpha )]\cdot [K(\alpha ):K]=[L:K(\alpha )]\cdot p$

ובסך הכל $[L:K(\alpha )]=1$ ולכן $L=K(\alpha )$. כמו כן לכל $j\in {\mathbb{𝔽}}_p\subseteq K$ מתקיים

${\sigma }^j({\alpha }^p-\alpha )={\sigma }^j(\alpha {)}^p-{\sigma }^j(\alpha )=(\alpha +j{)}^p-\alpha +j={\alpha }^p-\alpha$

ולכן ${\alpha }^p-\alpha$ נמצא בשדה השבת $L^G=K$, כלומר: ${\alpha }^p-\alpha \in K$.

כיוון שני: נניח $L=K(\alpha )$. נסמן $f=x^p-x-{\alpha }^p+\alpha$. אז לכל j מתקיים $f(\alpha +j)=(\alpha +j{)}^p-\alpha -j-{\alpha }^p-\alpha =j^p-j=0$ לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן $f$ מתפצל ב-$L$. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן $L/K$ הרחבת גלואה. כל איבר בה, $\sigma$, הוא K-אוטומורפיזם של $L$ ולכן מעביר את $\alpha$ לשורש כלשהו של $f$, $\alpha +j$. לכן אפשר להגדיר פונקציה $\omega :\mathrm{Gal}(L/K)\to {\mathbb{𝔽}}_p$ המקיימת $\sigma (\alpha )=\alpha +\omega (\sigma )$. כאן ${\mathbb{𝔽}}_p=\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}}$ הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית $\mathbb{\mathbb{Z}}/p\mathbb{\mathbb{Z}}=\{0,1,...,p-1\}$ עם חיבור מודולו p. נראה ש-$\omega$ הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו $\sigma ,\tau \in \mathrm{Gal}(L/K)$. אז

$\omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau )$

ולכן $\omega$ הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של ${\mathbb{𝔽}}_P$, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של $\omega$ הוא $\{\sigma |\sigma (\alpha )=\alpha \}=\{\mathrm{Id}\}$ לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר $p$ כרצוי.

מ.ש.ל. משפט_ארטין-שרייר_(הרחבות_ציקליות)20614538Q713056