משפט אוילר (גאומטריה)
משפט אוילר בגאומטריה, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק $ \ d $ בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: $ {\frac {1}{R+d}}+{\frac {1}{R-d}}={\frac {1}{r}} $, כאשר $ \ R $ הוא רדיוס המעגל החוסם ו-$ \ r $ הוא רדיוס המעגל החסום.
הוכחה
נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את הקוטר מ-L דרך O כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המפגש ב-D. ואז ID=r. על פי משפט תאלס השני זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL. לכן 2Rr = AI × BL. מתקיים
- $ \angle BIL=\angle {A \over 2}+{\angle ABC \over 2} $ וכן
- $ \angle IBL=\angle {ABC \over 2}+\angle CBL=\angle {ABC \over 2}+\angle {A \over 2} $ (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d2 = R(R − 2r. מש"ל.
הכללות
נסמן כמקודם ב-R,r,d את הרדיוסים של שני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, ונסמן $ \ \alpha ={\frac {r}{R+d}} $ ו-$ \ \beta ={\frac {r}{R-d}} $. נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם חוסם והשני חסום במצולע בעל n צלעות. לפי משפט אוילר, שני המעגלים הם שותפי-3 אם $ \alpha +\beta =1 $. קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו מרובע, המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, מרובע משיקים ומרובע ציקלי): $ \ \alpha ^{2}+\beta ^{2}=1 $ (זהו משפט פס, (אנ')). יש הכללה לנוסחה זו במונחי הפונקציה אליפטית של יעקובי ואינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון, [1]. בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n. לדוגמה, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא $ \ (\alpha +\beta +1)^{3}=4(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+1) $; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא $ 3+(\beta ^{2}-\alpha ^{2})^{2}=2(\alpha ^{2}+\beta ^{2}) $.
כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב-$ P' $. באופן כזה מוגדרות הנקודות $ \ P''=(P')' $, $ \ P'''=(P'')' $, וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה $ \ P^{(n)}={P^{(n-1)}}' $. אם $ P'''=P $, פירושו של דבר הוא ש-$ P,P',P'' $ הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם $ P''''=P $, אז $ P,P',P'',P''' $ הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. משפט פונסלה (על שמו של ז'אן-ויקטור פונסלה, (אנ')) קובע שאם $ \ P^{(n)}=P $ לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם אליפסות, ולאו דווקא מעגלים.
מקורות
- Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter and S.L Greitzer, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol 19; משפט 2.12.
- A Mathematical Gift II, K Ueno, K Shiga and Sh Morita; Mathematical World Vol 20, AMS, 2004.
קישורים חיצוניים
- משפט אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)
משפט אוילר (גאומטריה)36581747