משטח ורונזה

בגאומטריה אלגברית, משטח ורונזה הוא יריעה אלגברית דו-ממדית במרחב הפרוייטיבי ה-5-ממדי ${\mathbb{\mathbb{P}}}^5$. המשטח מהווה שיכון ריבועי של המישור הפרויקטיבי ${\mathbb{\mathbb{P}}}^2$ ב- ${\mathbb{\mathbb{P}}}^5$. משטח זה קרוי על-שם ג'וזפה ורונזה (1854-1917). את משטח ורונזה אפשר לשכן גם ב- ${\mathbb{\mathbb{P}}}^4$, באמצעות הטלה מנקודה גנרית של ${\mathbb{\mathbb{P}}}^5$. ההטלה הבאה, מנקודה גנרית של ${\mathbb{\mathbb{P}}}^4$ ל- ${\mathbb{\mathbb{P}}}^3$, קרויה משטח שטיינר.

הגדרה

משטח ורונזה הוא תמונת ההעתקה $s:{\mathbb{\mathbb{P}}}^2\to {\mathbb{\mathbb{P}}}^5$, המוגדרת לפי העתקת ורונזה $s(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy)$, כאשר $(x:y:z)$ הן קואורדינטות הומוגניות של המרחב הראשון. התמונה מוגדרת גם באמצעות המשוואות $\{(x_0:x_1:x_2:x_3:x_4:x_5):x_0{x}_1=x_5^2,x_2{x}_5=x_3{x}_4,x_4{x}_5=x_0{x}_3\}$.

יריעות ורונזה

לכל n ו־d, אפשר להגדיר שיכון ${\mathbb{\mathbb{P}}}^n\to {\mathbb{\mathbb{P}}}^m$, כאשר $m+1=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})$ הוא המקדם הבינומי הסופר את המונומים מדרגה d ב־n משתנים, וההעתקה מוגדרת על ידי: $\varphi (x_0:x_1:\dots :x_n)=(M_0(x_0,\dots ,x_n),M_1(x_0,\dots ,x_n),\dots ,M_m(x_0,\dots ,x_n))$ כאשר ה-$M_i$ הם אוסף כל המונומים מדרגה d ב-n משתנים. תמונת השיכון $\varphi$ היא יריעת ורונזה. אפשר להוכיח שהיא קבוצה סגורה אי-פריקה, ולכן יריעה פרויקטיבית (משטח ורונזה הוא היריעה המתקבלת עבור d=2 ו-n=2).

בניסוח אחר, שאינו תלוי בקואורדינטות, מדובר בהעתקת החזקה הסימטרית, ${\nu }_d:\mathbb{\mathbb{P}}V\to \mathbb{\mathbb{P}}({\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}}^{\mathrm{d}}\mathrm{V}\mathrm{)}$, כאשר V הוא מרחב וקטורי מממד n.

ניתן להראות כי כל יריעה פרויקטיבית היא חיתוך של יריעת ורונזה ויריעה ליניארית.

קישורים חיצוניים

• משטח ורונזה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משטח ורונזה40788649Q2899466