משוואות סטוקס

בתורת הזורמים, זרימה זוחלת או זרימת סטוקס היא זרימה בה השפעת איברי האינרציה במשוואות נאוויה-סטוקס זניחות ($Re<<1$). משוואות התנועה עבור זרימה זוחלת הן משוואות סטוקס.

הסבר: זרימות זוחלות

ניתן להגדיר זרימות זוחלות:

• כאשר הצמיגות גבוהה מאוד
• כאשר מימד האורך בבעיה קטן יחסית
• המהירות איטית.

זרימה זוחלת נחקרה לראשונה כשנוצר צורך במידול של שימון, אך ישנן בטבע הרבה סוגי זרימות לדוגמה, עבור שחיה של מיקרו אורגניזמים, זרע, וזרימת לבה. בנוסף לכך בהנדסה, זרימה כזאת מתרחשת בצביעה, מכשירי MEMS וזרימה צמיגה של פולימרים. נציין שבשימושים הנדסיים ניתן להסתפק במספר ריינולדס גדול יותר $1<Re<3$.

חשוב לציין כי זרימת סיכה היא זרימה זוחלת בתוך תווך אשר לו כיוון אחד בעל גודל אופייני הקטן בסדר גודל משאר הכיוונים.

משוואות סטוקס

משוואות התנועה עבור זרימות זוחלות הן משוואות סטוקס. ניתן לקבל על ידי ביצוע לינאריזציה של משוואות נאוויה-סטוקס במצב מתמיד. ניתן להזניח את איברי האינרציה ולקבל את מאזן המומנטום של משוואות סטוקס:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbb {P} +\mathbf {f} =0$

כאשר $\scriptstyle \mathbb {P}$ הוא טנזור מאמצים המייצג את הצמיגות והלחצים ו $\scriptstyle \mathbf {f}$ הוא כוחות הגוף הפועלים על הזרימה.

משוואת סטוקס המלאה כוללת בתוכה גם את החוק שימור המסה:

${\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {u} =0$

כאשר $\scriptstyle \rho$ הוא צפיפות הנוזל, $\scriptstyle \mathbf {u}$ היא מהירות הנוזל ו$\scriptstyle {\frac {D}{Dt}}$ הנגזרת המלווה. על מנת לקבל את המשוואה עבור זורמים בלתי דחיסים, $\scriptstyle \rho$ קבוע ולכן הנגזרת שלו שווה לאפס וניתן לצמצמו מהאיבר השני של המשוואה.

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

מאפיינים

משוואות סטוקס מייצוגת פישוט ניכר ממשוואות נאוויה סטוקס, במיוחד עבור המקרה של זורמים בלתי דחיסים וניוטונים. בהם הסדר המוביל הוא הצמיגות עבור הגבול $Re\to 0.$.

תלות-בזמן

משוואות אלה אינן תלויות בזמן ולכן גם הפתרון לא יהיה תלוי בו אלא אם כן תנאי השפה הם תלויי זמן.

פרדוקס סטוקס

מאפיין מעניין של זרימת סטוקס הידוע בתור פרדוקס סטוקס: זרימת סטוקס של נוזל סביב דיסק בשני ממדים או באופן שקול פתרון טריוואלי של זרימת סטוקס סביב גליל אינסופי.

זרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטונים

באופן כללי המקרה של משוואת סטוקס של זורמים ניוטונים בלתי דחיסים בהצגה הווקטורית היא:

${\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &=0\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}$

כאשר $\scriptstyle {u}$, מייצג את המהירות של הזורם, $\scriptstyle {\boldsymbol {\nabla }}p$ את גראדיאנט הלחצים, $\scriptstyle \mu$ את הצמיגות, ו-$\scriptstyle \mathbf {f}$ מייצג את כוחות הגוף. התוצאה ממשוואה זו היא לינאריות המהירות והלחץ, ושמדובר ביתרון גדול מאוד עבור פותרי המשוואה.

קואורדינטות קרטזיות

כאשר $\scriptstyle \mathbf {u} =(u,v,w)$ ו- $\scriptstyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$ נוכל לפתוח את הצורה הווקטורית של המשוואות לשלוש משוואות הבאות:

${\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}$

הגענו למשוואות אלה לאחר שהנחנו ש $\scriptstyle \mathbb {P} ={\frac {1}{2}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T})-p\mathbb {I}$ והצפיפות $\rho$ היא קבועה.

שיטות לפתרון

שימוש בפונקציית זרם

את המשוואה עבור זורמים ניוטונים בלתי דחיסים ניתן לפתור את המשוואה על ידי פונקציית זרם. מתודה שניתן להשתמש בה במישור או במרחב התלת ממדי.

סוג הפונקציה	גאומטריה	משוואה
פונקציית זרם $(\psi )$	דו ממדי, מישורי	$\nabla ^{4}\psi =0$ או $\Delta ^{2}\psi =0$ (משוואה בי-הרמונית)
פונקציית הזרם של סטוקס $(\Psi )$	קואורדינטות כדוריות, 3 ממדי	$E^{2}\Psi =0,$ כאשר $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)$
פונצקיית הזרם של סטוקס $(\Psi )$	3-D cylindrical	$L_{-1}^{2}\Psi =0,$ where $L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}$

שימוש בפונקציית גרין: הסטוקסלט

הלינאריזציה של משוואת סטוקס בזורמים ניוטונים בלתי דחיסים גורמת לכך שניתן למצוא את פונקציית גרין. ניתן למצוא את פונקציית גרין על ידי פתרון משוואות סטוקס עם אילוץ המוחלף בכוח נקודתי הפועל במקור, ותנאי השפה נעלמים באינסוף.

${\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}$

כאשר $\mathbf {\delta } (\mathbf {r} )$ הוא פונקציית דיראק, ו-$\mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )$ מייצג את הכוח הנק' הפועל במקור. הפתרון עבור הלחץ p והמהירות u עם |u| וp שואף לאפס באינסוף וניתן על ידי

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}$

כאשר: $\mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)$ הוא טנזור מסדר שני.

המינוח של פתרון הסטוקלט והכוח הנקודתי משמש לתיאור $\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )$. ניתן להקביל זאת לאלקטרוסטטיקה, הסטוקלט הוא כוח חופשי בכל מקום חוץ מבמקור, אשר שם הוא כולל את הכוח (או המאמץ) $\mathbf {F}$.

עבור פילוג כוח (כוח מפורס) $\mathbf {f} (\mathbf {r} )$ הפתרון הוא (שוב שואף לאפס באינסוף) יכול להמצא על ידי סופרפוזיציה:

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} (\mathbf {r'} )\cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} (\mathbf {r'} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'}$

האינטגרל מייצג את המהירות כפי שהיא יכולה להיות נצפית כהורדת סדר, כלומר משלושה ממדים לאינטגרל כפול (דו ממדי).

פתרונות נוספים

הפתרון של פפוביץ-ניבר (Papkovich–Neuber solution) הפתרון על ידי נומריקה

ביבליוגרפיה

• Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. מסת"ב 0-521-45881-1.

לקריאה נוספת

• חוק סטוקס
• זרימה למינרית

קישורים חיצוניים

• Video demonstration of time-reversibility of Stokes flow by UNM Physics and Astronomy