משוואות אוילר (מכניקה של גוף קשיח)
במכניקה קלאסית משוואות אוילר הן משוואות דיפרנציאליות ווקטוריות מסדר ראשון המתארות את הסיבוב של גוף קשיח. המשוואות קושרות את מומנט הכח לטנזור ההתמד, למהירות הזוויתית של הגוף ולנגזרתה. תוך שימוש במערכת הצירים הראשית של הגוף שהיא מערכת ייחוס מסתובבת הצמודה לגוף המסתובב ומסתובבת איתו, בה מכפלות ההתמדה של טנזור האינרציה מתאפסים ומפשטים את החישובים במידה ניכרת.
צורתה הכללית של הנוסחה:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d\mathrm{J} \over dt}=\mathrm{I} \cdot \dot{\omega} + \omega \times \left( \mathrm{I} \cdot \omega \right) = \mathrm{I} \cdot \dot\omega+\omega \times \mathrm{J} = \mathrm{M} }
כאשר M הוא סכום המומנטים הפועל על הגוף, I הוא טנזור ההתמד וω היא המהירות הזוויתית של הגוף הנמצא במערכת הצירים הראשית של הגוף. ובה כאשר פורטים את וקטורי הסיבוב וטנזור ההתמד למרכיבי הכיוון תתקבלנה המשוואות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} I_1\dot{\omega}_{1}+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3 &= M_{1}\\ I_2\dot{\omega}_{2}+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1 &= M_{2}\\ I_3\dot{\omega}_{3}+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2 &= M_{3} \end{align} }
- כאשר המספר התחתי מייצג את הציר לגביו נפרט הווקטור.
פיתוח הנוסחה
תנע זוויתי של גוף מוגדר כמכפלה ווקטורית בין המרחק מהציר לתנע הקווי.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{J}\,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \mathrm{r}\times \mathrm{p}=\mathrm{r}\times m \mathrm{v} = m \mathrm{r} \, \times (\mathrm{r} \times \,\omega) = \mathrm{I}\times \omega }
בדומה לכח מומנט הכח מוגדר כשינוי התנע הזוויתי ביחס לזמן.
הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathrm {M} \,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,\Delta \mathrm {J} ={\frac {d\,\mathrm {J} }{dt}}}
בגלל שאנחנו נמצאים במערכת ייחוס שהצירים בה אינם קבועים הגזירה בזמן צריכה לערב לא רק את גזירת הווקטור עצמו אלא להוסיף לו גם איבר הנובע משינוי הצירים, שכן הווקטור לא רק משתנה בעצמו אלא גם שינוי המערכת משנה אותו.
הצירים במקרה של מערכת מסתובבת מסתובבים ביחס לזמן במהירות זוויתית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega } . ולכן ווקטור במערכת ישתנה בנוסף לשינוי העצמי שלו גם ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{A}\times \omega } מכאן ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{M}\,\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\, \frac{d\,\mathrm{J}}{dt}=\frac{d\,\mathrm{I}\cdot \omega}{dt} +\mathrm{J}\times \omega=\mathrm{I}\cdot \dot \omega+\omega\times (\mathrm{I}\cdot \omega) }
ניתוח תנועת סביבון
על מנת לתאר סיבוב של גוף קשיח במרחב יש צורך לתארו תוך שימוש בשלושה צירי סיבוב. הסביבון בתרשים מסתובב סביב ציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y' } במהירות זוויתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot \theta } סביב ציר הסימטריה שלו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z' } במהירות זוויתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot\psi } וסביב ציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z } במהירות זוויתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot\varphi } .
מכאן שווקטור המהירות הזוויתית של הסביבון היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{\omega}=\dot\psi \hat z'+\dot\varphi\hat z-\dot\theta \hat y' } קל לראות באמצעות טריגונומטריה פשוטה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat z =\cos\theta \hat z'-\sin \theta \hat x' } .
מכאן שהמהירות הזוויתית תהיה שווה ל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{\omega}=\dot\psi \hat z'+\dot\varphi(\cos\theta \hat z'-\sin \theta \hat x')-\dot\theta \hat y' }
והתנע הזוויתי של הסביבון יהיה שווה ל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{J}=\mathrm{I}\mathrm{\omega}=\mathrm{I}_{x'} \omega_{x'} + \mathrm{I}_{y'}\omega_{y'}+\mathrm{I}_{z'} \omega _{z'}= \mathrm{I}_{z'}(\dot\varphi\cos\theta+\dot\psi )\hat z'-\mathrm{I}_{y'}\dot\theta\hat y'-\mathrm{I}_{x'} \dot\varphi \sin\theta\hat x' }
לשם פתירת מערכת משוואות של מקרה כללי יש צורך לדעת את התנגדות האוויר שלשם כך יש צורך לנתח את המבנה האווירודינמי של הסביבון ויש צורך לנתח את החיכוך עם הקרקע.
תנועת סביבון נפוצה היא כאשר . וכאשר אין שינוי בזווית ביחס לקרקע כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot\theta=0 } .
במקרה כזה מכיוון מתקבל וקטור תנע התלוי בציר Z בלבד שגודלו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{J}= \mathrm{I}_{z'}\dot\psi \hat z' } מכיוון שהמהירות הזוויתית קבועה הנגזרת של ווקטור המהירות הזוויתית שווה ל 0
מגזירת הווקטור מתקבל המומנט שלפי משוואות אוילר הוא שווה ל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d\mathrm{J} \over dt}=\mathrm{I} \cdot \dot{\omega} + \omega \times \left( \mathrm{I} \cdot \omega \right)=\mathrm{I} \cdot \dot\omega+\omega \times \mathrm{J} =0+\dot \varphi\hat z \times \mathrm{I}_{z'}\dot\psi \hat z'=-\dot \varphi \dot\psi\mathrm{I}_{z'}\sin\theta\hat y=\mathrm{M} }
אך המומנט היחידי הפועל במערכת בהזנחת החיכוך עם הרצפה ועם האוויר הוא המומנט הנוצר מכוח המשיכה מכאן ש:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{M}=-mgl\sin\theta \hat y = -\dot \varphi \dot\Psi\mathrm{I}_{z'}\sin\theta\hat y }
ומפתירת המשוואה נמצא כי הפרסציה של הסביבון שווה ל:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Longrightarrow \dot\varphi=\frac{mgl}{\mathrm{I}_{z'}\psi} }