מרכז מסה

הנקודה בה צעצוע זה מוחזק היא מרכז המסה שלו, מה שגורם לשיווי משקל על האצבעות

בפיזיקה ובמכניקה, מרכז המסה (או מרכז כובד) של מערכת גופים או חלקיקים הוא נקודה במרחב, שגם אם המסה כולה הייתה מרוכזת בה תכונות המערכת לא היו משתנות. חישובים רבים במכניקה הם פשוטים יותר כאשר ניתן להתייחס לגוף כאל גוף נקודתי (שנמצא בנקודה בודדת), כך שאין צורך להתחשב בממדיו, בצורתו או בכיווניות שלו.

למשל, על פי חוק הכבידה של ניוטון, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = G{{ m_{1} m_{2}} \over r^2}} , כוח הכבידה $F$ נמצא ביחס הפוך לריבוע המרחק בין הגופים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r^2} . כיוון שהמרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} נמדד בין שתי נקודות, יש בעיה בהגדרת המרחק בין גופים שאינם נקודתיים. על מנת לפתור זאת, יש לדעת באילו נקודות במרחב יש לרכז את מסתו של כל גוף כך שתכונות המערכת לא ישתנו. נקודות אלו הן מרכזי המסות, ועל פיהן ניתן לחשב את המרחק בין הגופים.

מקומו של מרכז המסה הוא פונקציה של המקום והמסה של כל הגופים המרכיבים את המערכת. בהקשר לכוח הכובד מכונה מרכז המסה גם "מרכז הכובד".

בתורת היחסות הפרטית מוחלף מושג זה במרכז האנרגיה שהוא מושג בעל משמעות דומה.

הגדרה מתמטית

מרכז המסה של אוסף בדיד של מסות נקודתיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m_i } הממוקמות בנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r_i } מוגדר על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{R}_{c.m.} = \frac 1M \sum_i m_i \vec{r}_i}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M=\sum_i m_i} היא המסה הכוללת של המערכת.

מרכז המסה של גוף רציף בעל צפיפות מסה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho(\vec r) } מוגדר על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec R_{c.m.} =\frac 1M \int \vec{r} \; dm = \frac 1M \int\rho(\vec{r})\, \vec{r} \ dV }

כאשר האינטגרל הוא על נפח הגוף.

בכל מקרה מיקום מרכז המסה הוא ממוצע משוקלל של מיקום המסות המרכיבות את המערכת/הגוף.

דוגמאות

קובץ:Center of mass two bodies.svg

מרכז מסה של שני גופים

מרכז מסה של מערכת המורכבת משתי מסות $m_{1},m_{2}$ הנמצאות במרחק x זו מזו, נמצא על הקו המחבר בין שתי המסות, במרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m_2}{m_1+m_2} x } מהמסה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_1 } ובמרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m_1}{m_1+m_2} x } מהמסה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_2 } .

כאשר שתי המסות אינן שוות מרכז המסה קרוב יותר למסה הגדולה יותר ואילו עבור מסות שוות הוא נמצא בדיוק באמצע בין שתי המסות.

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

מרכז מסה של שולחן, נמצא מחוץ לשולחן עצמו

מרכז המסה של גוף יכול להיות מחוץ לגוף עצמו, לדוגמה מרכז המסה של שולחן יכול להיות מתחת לשולחן.

עבור גופים פשוטים בעלי צפיפות אחידה, מרכז המסה מתלכד עם המרכז הגאומטרי של הגוף, לדוגמה:
- דיסקה (עיגול) - מרכז העיגול.
- כדור - מרכז הכדור.
- משולש - מפגש התיכונים.

שימושים

מכניקה

נוח להשתמש במערכת צירים שראשיתה ממוקמת במרכז המסה ונעה יחד איתו. זאת כיוון שמרכז המסה של מערכת נע בהשפעת כוחות חיצוניים בלבד, כלומר רק כוחות שמופעלים על המערכת מבחוץ משפיעים על תנועתו. כמו כן ניתן לפרק את האנרגיה הקינטית של מערכת לאנרגיה הקינטית של החלקים המרכיבים אותה יחסית למרכז המסה ועוד האנרגיה הקינטית של גוף נקודתי בעל המסה הכוללת של המערכת שנמצא במרכז המסה. במקרים בהם לא פועלים כוחות חיצוניים או פועל כח הגרביטציה בלבד, תנועת מרכז המסה פשוטה לחישוב. כך ניתן לדוגמה לפרק תנועה מורכבת של גוף צפיד לתנועה של מרכז המסה שלו וסיבוב של הגוף סביב מרכז המסה.

אסטרונומיה

שני גופים (כוכב ולווין) מסתובבים סביב מרכז המסה שלהם

במערכת המורכבת משני גופים הנמשכים זה לזה על ידי כח הגרביטציה (כגון כוכב ולוויין), כל אחד מן הגופים נע במסלול אליפטי סביב מרכז המסה המשותף שלהם. כך למשל כדור הארץ נע במסלול אליפטי סביב מרכז המסה של כדור הארץ והשמש (ולא סביב השמש עצמה).

תעופה

מיקום מרכז הכובד של מטוס משפיע על יציבות המטוס.

הטייס, המחזיק באחריות לבטיחות הטיסה, אחראי גם על ביצוע מתאים של פיזור הנוסעים והמטען בצורה שתאפשר למרכז הכובד להישאר בתוך טווח התנועה המותר שלו, על פי ספרות יצרן המטוס. לעיתים, הנושא באחריות זו הוא פקח העמסה.

נקודה נייטרלית - היא הנקודה הגאומטרית האחורית ביותר בה יכול להימצא מרכז הכובד של מטוס יציב סטטית. כלומר בהופעת הפרעה, המטוס ישאף לחזור למצב המקורי - למצב של איזון מחודש. מסומנת כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Xn} .
נקודת מגבלה קידמית - היא הנקודה הגאומטרית הקידמית ביותר בה יכול להימצא מרכז הכובד של מטוס בטיסה ישרה ואופקית בעילוי מקסימלי. מסומנת כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Xn_1} . תהליכים כמו סיבוב (רוטציה) במהלך המראה או תמרון מזיזים את המגבלה הקידמית לאחור.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מרכז מסה בוויקישיתוף

מרכז מסה באתר hyperphysics (באנגלית)
מרכז מסה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרכז מסה33309423Q2945123

מרכז מסה

תוכן עניינים

הגדרה מתמטית

דוגמאות