מערכות תרמודינמיות מגנטיות

בתרמודינמיקה ובפיזיקה סטטיסטית, הניסוח התאורטי של מערכות מגנטיות כרוך בהבעת התנהגות המערכת בעזרת חוקי התרמודינמיקה. מערכות מגנטיות נפוצות המנוסחות בעזרת התרמודינמיקה הם פרומגנטים ופאראמגנטים, וגם המעבר פאזה בין פאראמגנט לפרומגנט. בנוסף לכך, ניתן להפיק גדלים תרמודינמיים בצורה כללית למערכת מגנטית כללית בעזרת הניסוח לעבודה מגנטית.^[1]

דוגמאות נפוצות למודלים תרמודינמיים פשוטים למערכות מגנטיות הם, מודל איזינג, קירוב השדה הממוצע, ומעבר הפאזה פרומגנט - פאראמגנט שממודל בעזרת תורת לנדאו למעברי פאזה.^[2]

מערכת מגנטית כללית

כדי להכליל מערכות מגנטיות אל החוק הראשון של התרמודינאמיקה, יש צורך בהגדרת מושג העבודה המגנטית. התרומה המגנטית לעבודה הקווזי סטטית הנעשית על ידי מערכת מגנטית כללית היא:^[1]

$\Delta W=-{\frac {1}{4\pi }}{\int _{V}{H\cdot \Delta BdV}}$

כאשר $H$ הוא השדה המגנטי ו- $B$ הוא צפיפות שטף המגנטי.^[3] כעת, נוכל לרשום עבור תהליכים הפיכים את החוק הראשון:

${\displaystyle \Delta U=T\Delta S-pdV+{\frac {1}{4\pi }}{\int _{V}{H\cdot \Delta BdV}}}$

באופן דומה, עבור תהליכים הפיכים, נוכל לרשום את השינוי באנרגיה החופשית של המלמהולץ $F$ והאנרגיה החופשית של גיבס $G$ , בהתאמה:

$\Delta F=-SdT-pdV+{\frac {1}{4\pi }}{\int _{V}{H\cdot \Delta BdV}}$

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Delta G=-SdT+Vdp-{\frac {1}{4\pi }}{\int _{V}{B\cdot \Delta HdV}}}

מערכת פאראמגנטית

במערכת פאראמגנטית, כלומר, מערכת שבה המגנטיזציה נעלמת כאשר אין הפעלה של שדה מגנטי חיצוני, בהנחת כמה הנחות מקלות (למשל שהמערכת ספרואידית), ניתן לקבל מספר של קשרים תרמודינמיים קומפקטים.^[4] בהנחה שהשדה החיצוני המופעל אחיד במרחב, לא משתנה בזמן ושכיוונו חולק ציר משוטף עם הפאראמגנט, הפרמטר האקסטנסיבי המאפיין את המצב המגנטי של המערת הוא $I$ , המומנט הדיפול המגנטי של המערכת. הקשר התרמודינמי הפונדמנטלי המתאר את המערכת יהיה מהצורה $U=U(S,V,I,N)$ , כאשר $S$ היא אנטרופיה המערכת, $V$ הוא נפח המערכת, ו- $N$ הוא מספר החלקיקים במערכת. במקרה כללי יותר, כאשר כיוון שדה המגנטי לא בהכרח מתלכד עם כיוון המומנט הדיפול המגנטי, הפרמטרים האקסטנסיביים המאפיינים את המצב המגנטי של המערכת יהיו $I_{x},I_{y},I_{z}$ , כלומר רכיבים הווקטור מומנט הדיפול המגנטי בכיוונים $X,Y,Z$ בהתאמה. במצב כזה נרשום $U=U(S,V,I_{x},I_{y},I_{z},N)$ .

הפרמטר האינטנסיבי התואם למומנט הדיפול המגנטי $I$ הוא השדה המגנטי החיצוני שמופעל על המערכת הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle B_{external}} או בקיצור הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle B_{e}} . הקשר בין הפרמטרים יהיה:

B_{e}=\left({\frac {\partial U}{\partial I}}\right)_{S,V,N}

נשים לב כי במקרה זה האנרגיה

U

היא האנרגיה הנוספה למערכת עקב הוספת הפרמגנט. האנרגיה הכוללת במרחב בוא נמצא המערכת מכיל גם איבר הנובע מאנרגיאת מגנטית בריק. אנרגיה זו היא

U_{vacuum}={\frac {B_{e}^{2}V}{2\mu _{0}}}

, כאשר

\mu _{0}

היא הפרמביליות של הריק (וערכו שווה ל-

1.25663706212(19)\cdot {10}^{-6}[H/m]

), והוא אינו כלול כחלק מ-

U

. הבחירה של האם להכליל את

U_{vacuum}

בתוך

U

היא שרירותית, אבל חשוב לשים לב באיזה קונבנציה משתמשים למען מניעת בלבול.

הקשר אוילר למערכת פאראמגנטית יהיה:

U=TS-PV+B_{e}I+\mu N

והקשר גיבס דוהם למערכת כזו הוא:

SdT-VdP+IdB_{e}+Nd\mu =0

כאשר

T

היא הטמפרטורה,

P

הוא הלחץ, ו-

\mu

הוא פוטנציאל האלקטרוכימי של המערכת.

בעיה ניסיונית שמבדילה מערכות תרמודינמיות מגנטיות ממערכות תרמודינמיות אחרות היא שמומנט הדיפול המגנטי לא ניתן להגבלה. בדרך כלל, כל הפרמטרים האקסטנסיביים במערכת, ניתנים לקביע לערך ספציפי (לדוגמה, לקבע את הנפח לנפח סופי כלשהו או מספר החלקיקים במערכת למספר כלשהו. ניתן לעשות זאת, למשל אם המערכת סגורה בתוך קופסה קשוחה^[5]). מצד שני, אין שום מערכת או שיטה ניסיונית שמאפשרת לקבע באופן ישיר את ערכו של המומנט הדיפול המגנטי ולהשאיר אותו קבוע. אף על פי כן, עובדה זו לא משפיעה על תאורית התרמודינמית למערכות מגנטיות.

מערכת פרומגנטית

מערכות פרומגנטיות הן מערכות שבה המגנטיזציה לא נעלמת כאשר אין הפעלה של שדה מגנטי חיצוני. דוגמאות לחומרים פרומגנטיים הם מגנטיט, ברזל, ניקל וקובלט. ישנם מספר מודלים שפותחו למען למדל ולהסביר את התופעות של חומרים פרומגנטיים, למשל מודל איזינג. את מודל איזינג ניתן לפתור באופן אנליטי במימד אחד, שני ממדים, בצורה נומרית עבור ממדים גבוהים יותר, או בעזרת קירוב השדה הממוצע. בנוסף לכך, ניתן למדל את מעבר הפאזה פרומגנט-פארמגנט בעזרת תורת לנדאו למעברי פאזות.^[1]^[6]

מעבר פאזה פרומגנט פאראמגנט - מודל פשטני

קירוב השדה הממוצע למערכת פרומגנט - פאראמגנט הוא מודל פשטני למעבר הפאזות. במודל זה מניחים כי החומר בנוי מאוסף אתרי ספין חסרי אינטראקציה (מלבד השדה המגנטי הממוצע), היכולים לקבל את הערך $+1/2$ או $-1/2$ . המומנט הדיפול המגנטי פר חלקיק יהיה $\mu =g\mu _{B}S$ , כאשר $\mu _{B}$ הוא המגנטון של בוהר, $g$ הוא ה-g פקטור ו- $S$ הוא הספין. עבור אלקטרונים $g=2$ , לכן המומנט הדיפול המגנטי פר חלקיק יכול להיות סך הכל $\mu =+\mu _{B}$ או $\mu =-\mu _{B}$ . האנרגיה של דיפול כזה בשדה מגנטי ${\vec {B}}$ יהיה אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=-\vec{B}\cdot\vec{\mu}} . הנחה מקלה שניתן לעשות היא להניח שהדה המגנטי בכיוון מומנטי הדיפול, ולכן האנרגיה פר חלקיק יכולה להיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=+{B}{\mu_{B}}} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=-{B}{\mu_{B}}} . אז נקבל שבאנסבל הקנוני, פונקציית החלוקה החד חלקיקית תהיה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_1=e^{\frac{-\mu_BB}{k_BT}}+e^{\frac{\mu_BB}{k_BT}}}

ההסתברות שחלקיק אחד בודד יהיה לו אנרגיה ${B}{\mu _{B}}$ היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(\epsilon=+\mu_BB)=\frac{e^{\frac{\mu_BB}{k_BT}}}{Z_1}=\frac{e^{\frac{\mu_BB}{k_BT}}}{e^{\frac{-\mu_BB}{k_BT}}+e^{\frac{\mu_BB}{k_BT}}} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} מסמן אנרגיה של החלקיק הבודד. באופן דומה ההסתברות שלחלקיק יהיה אנרגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -{B}{\mu_{B}}} היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(\epsilon=-\mu_BB)=\frac{e^{\frac{-\mu_BB}{k_BT}}}{Z_1}=\frac{e^{\frac{-\mu_BB}{k_BT}}}{e^{\frac{-\mu_BB}{k_BT}}+e^{\frac{\mu_BB}{k_BT}}} }

כדי לחשב את המומנט הדיפול הממוצע של החלקיק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle{\mu}\rangle } , נחשב את התוחלת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle{\mu}\rangle={\mu_B}P(\epsilon=\mu_BB)-{\mu_B}P(\epsilon=-\mu_BB)=\frac{{\mu_Be^{\frac{\mu_BB}{k_BT}}-\mu_Be^{\frac{-\mu_BB}{k_BT}}}}{{e^{\frac{-\mu_BB}{k_BT}}+e^{\frac{\mu_BB}{k_BT}}}}=\mu_B \tanh\biggl({\frac{{\mu_B}B}{k_BT}}\biggr) }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tanh } היא הפונקציה היפרבולית טנגנס היפרבולי. המגנטיזציה הכוללת פר נפח של המערכת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle{M}\rangle } תהיה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle{M}\rangle=\frac{N}{V}\langle{\mu}\rangle=n\mu_B\tanh\biggl({\frac{\mu_BB}{k_BT}}\biggr) }

כאשר סימנו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=\frac{N}{V} } צפיפות החלקיקים פר נפח. כעת נבצע את קירוב השדה הממוצע: נניח כי השדה הפועל על החלקיק (שנוצר מהשדות של כל שאר החלקיקים) הוא אחיד (בעצם זה סוג של ממוצע על השפעתם של כל החלקיקים), כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B=\lambda{M} }

השדה הוא שדה שנובע מכל הספינים והוא פרופורציוני ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {M} } , המגנטיזציה של החלקיקים. קבוע הפרופורציה בין השדה למגנטיזציה נסמנו ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda } . נציב קשר זה בתוך הביטוי ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle{M}\rangle } , שמעכשיו נסמנו ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {M} } למען הנוחות. נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {M}=n\mu_B\tanh\biggl({\frac{\mu_B\lambda{M}}{k_BT}}\biggr) }

נגדיר את הגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=\frac{M}{n\mu_B} } , ונסדר את הביטוי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {m}=\tanh\biggl({\frac{n{\mu_B}^2\lambda{m}}{k_BT}}\biggr) }

נגדיר גודל נוסף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\frac{k_BT}{n{\mu_B}^2\lambda{}} } ונציב בבטיו:

${m}=\tanh {\biggl (}{\frac {m}{t}}{\biggr )}$

למשוואה כזו אין פתרון אנליטי אבל ישנם כמה דרכים למצוא פתרון נומרי עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m } , וכך למצוא את המגנטיזציה וגם את השדה המגנטי. באמצעות ניתוח גרפי של משוואה זו אפשר להסיק כי עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t>1 } למשוואה אין פתרון (פרט לפטרון הטריוויאלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {m}=0 } ), ועבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t<1 } תמיד קיים פתרון לא טריוויאלי:

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t>1 } נראה כי אין חיתוך בין שתי העקומות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tanh\biggl({\frac{{m}}{t}}\biggr) } ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {m} } (מלבד לפתרון הטריוויאלי):

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t<1 } כן יהיה חיתוך בין העקומות:

מכאן מסיקים כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=1 } , או לחלופין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=T_c:=\frac{n\mu_B\lambda}{k_B} } היא טמפרטורה הקריטית המאפיינת את המעבר בין שני מצבים (או יותר נכון, שני פאזות): עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T>T_c } אין מגנטיזציה ספונטנית והמערכת היא בפאזה פאראמגנטי, ועבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T<T_c } ישנה מגנטיזציה ספונטנית והמערכת היא בפאזה פרומגנטי.

ראו גם

הערות שוליים

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Allen L. Wasserman, 12, Thermal Physics, Cambridge University Press
^ Daniel V. Schroeder, Thermal Physics, Oxford University Press, עמ' 339 - 350
^ Magnetic field, field strength, and flux density, www.emfs.info
^ Herbert B. Callen, H. L. Scott, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics., עמ' 82,83
^ The first law of thermodynamics, physics.bu.edu
^ Charles Kittel, Herbert Kroemer, H. L. Scott, Thermal Physics, 2nd ed., עמ' 288-302

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31587768מערכות תרמודינמיות מגנטיות

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Allen L. Wasserman, 12, Thermal Physics, Cambridge University Press

[2] Daniel V. Schroeder, Thermal Physics, Oxford University Press, עמ' 339 - 350

[3] Magnetic field, field strength, and flux density, www.emfs.info

[4] Herbert B. Callen, H. L. Scott, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics., עמ' 82,83

[5] The first law of thermodynamics, physics.bu.edu

[6] Charles Kittel, Herbert Kroemer, H. L. Scott, Thermal Physics, 2nd ed., עמ' 288-302

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

מערכות תרמודינמיות מגנטיות

תוכן עניינים

מערכת מגנטית כללית

מערכת פאראמגנטית

מערכת פרומגנטית

מעבר פאזה פרומגנט פאראמגנט - מודל פשטני

ראו גם

הערות שוליים

תפריט ניווט

מערכות תרמודינמיות מגנטיות

מערכת מגנטית כללית

מערכת פאראמגנטית

מערכת פרומגנטית

מעבר פאזה פרומגנט פאראמגנט - מודל פשטני

ראו גם

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש