מעטפת (מתמטיקה)

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

בנייה של המעטפת של משפחה של עקומים.

בגאומטריה, המעטפת (באנגלית: Envelope) של משפחה של עקומים במישור היא העקום אשר משיק לכל עקום במשפחה הזו בנקודה כלשהי. באופן קלאסי, ניתן לחשוב על נקודה על המעטפת כנקודת החיתוך של שני עקומים "סמוכים", כלומר הגבול של נקודות החיתוך של עקומים סמוכים. המעטפת של משפחת העקומים "תוחמת" את משפחת העקומים, במובן שכל נקודה על כל עקום כלשהו השייך למשפחה נמצאת בתוך האזור התחום על ידי המעטפת. הרעיון הזה יכול להיות מוכלל למעטפת של משטחים במרחב, וכך הלאה לממדים גבוהים יותר.

באופטיקה גאומטרית, הקאוסטיקה היא המעטפת של משפחה של קרני אור, כפי שניתן לראות באיור.

תיאור מתמטי: מעטפת של משפחה של עקומים

נניח שכל עקום $C_{t}$ במשפחה נתון כפתרון של המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_t(x,y)=0} (ראו עקום בלתי-מפורש), כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} פרמטר. נכתובהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t,x,y)=f_t(x,y)} ונניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} גזירה.

המעטפת של המשפחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_t} מוגדרת כאוסף הנקודות עבורם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t,x,y)=\frac{\part F}{\part t}(t,x,y)=0} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} כלשהו.

משמעות התנאי הראשון היא שהנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} נמצאת על העקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_t} , ומשמעות התנאי השני היא שכאשר נעים אל העקום $C_{t+dt}$ הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} נותרת קבועה במקומה, דהיינו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} היא נקודת החיתוך של העקומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_t,C_{t+dt}} , כלומר הגבול של נקודות החיתוך של העקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_t} עם עקומים סמוכים. התנאי השני אינו מובן מאליו כלל וכלל שכן עבור נקודות אחרות (שלא על המעטפת) מתקיים שהשינוי ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t,x,y)} שווה לאפס עבור שינוי משולב ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t,x,y} .

מקרה פרטי חשוב הוא כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t,x,y)} הוא פולינום ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} . מקרה זה כולל, באמצעות סילוק המכנים, את המקרה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t,x,y)} הוא פונקציה רציונלית ב-$t$ . במקרה זה, מן ההגדרה ניתן להסיק כי t הוא שורש כפול של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t,x,y)} , ומשוואת המעטפת ניתנת למציאה באמצעות השוואה בין הדיסקרימננטה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} ל-0.

לשם דוגמה, יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_t} הקו הישר אשר משוואתו היא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}=1} . אם נסלק את השברים נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(1-t)+yt-t(1-t)=t^2+(-x+y-1)t+x=0}

כלומר עבור כל נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} יש לכל היותר שני ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} עבורם הישר המתאים עובר דרך הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} , ואינטואיציה גאומטרית עוזרת להבין זאת, כי קיים בוודאות ישר אחד שעובר דרך הנקודה (הישרים מכסים יחדיו את כל האזור התחום על ידי המעטפת) ולאחר מכן ניתן "לנוע" לאורך הישר הנתון באמצעות נקודות החיתוך עם ישרים סמוכים עד שמגיעים לנקודה הנ"ל. אולם, נקודות $(x,y)$ הנמצאות על המעטפת מוגדרות כגבול של נקודות חיתוך של עקומים "סמוכים" ולפיכך לכל נקודה על הגבול יש בדיוק ישר אחד שעובר דרכה. המשמעות היא שלמשוואה הריבועית לעיל יש פתרון יחיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} , ולפיכך המעטפת היא אוסף כל הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} עבורם למשוואה הריבועית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t^2+(-x+y-1)t+x=0} יש פתרון יחיד. לפיכך משוואת המעטפת היא הדיסקרימיננטה של המשוואה הריבועית שווה לאפס:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-x+y-1)^2-4x=(x-y)^2-2(x+y)+1=0}

דוגמאות

קובץ:Astroid as envelope.png

• סולם המונח על קיר במקביל לקיר, ומתחיל להחליק כך שקצה אחד שלו נמצא על הקיר האנכי וקצה אחר שלו על הרצפה יתווה מעטפת של אסטרואידה (האוולוט של האליפסה), כלומר האסטרואידה היא המעטפת של כל המצבים של הסולם בזמנים שונים. בניסוח מתמטי, האסטרואידה היא המעטפת של משפחה של קווים ישרים המחברים את הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (s,0),(0,t)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s^2+t^2=1} , כמוראה באיור.

הוכחה: משפחת הישרים היא אוסף כל הישרים שמשוואתם מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=t-\frac{tx}{\sqrt{1-t^2}}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\in[0,1]} . המעטפת של משפחת הישרים היא אוסף כל הנקודות המקיימות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=0} . לכן

${\frac {dy}{dt}}=1-{\frac {x}{\sqrt {1-t^{2}}}}-\left({\frac {-2t^{2}x\cdot (-{\frac {1}{2}})}{\sqrt {(1-t^{2})^{3}}}}\right)=1-{\frac {x}{\sqrt {1-t^{2}}}}-{\frac {t^{2}x}{\sqrt {(1-t^{2})^{3}}}}=0$

לכן, אחרי העברת אגפים והוצאת מכנה משותף, נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{(1-t^2)^3}}

ומהצבה בביטוי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כפונקציה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} נקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=t^3}

ומכאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^\frac23+y^\frac23=1} , וזוהי משוואת האסטרואידה.

יישומים

משוואות דיפרנציאליות רגילות

מעטפות גאומטריות קשורות למחקר של משוואות דיפרנציאליות רגילות, ובאופן מיוחד בהקשר של פתרונות סינגולריים למד"ר. ניקח, כדוגמה, את המשפחה בת פרמטר אחד של קווים משיקים לפרבולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=x^2} . אלה מתקבלים באמצעות המשפחה היוצרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\bigl(t,(x,y)\bigr)=t^2-2tx+y} . הצבת רמת האפס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\bigl(t_0,(x,y)\bigr)=0} נותנת את המשוואה של המשיק לפרבולה בנקודה $(t_{0},t_{0}^{2})$ . המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t^2-2tx+y=0} ניתנת תמיד לפתרון בצורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כפונקציה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t^2-2tx+y(x)=0}

הצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\tfrac12\frac{dy}{dx}} נותנת את המד"ר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{dy}{dx}\right)^2-4x\frac{dy}{dx}+4y=0}

באופן לא מפתיע, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=2tx-t^2} , כולם פתרונות למד"ר הזו. כמו כן, גם המעטפת של המשפחה בת-פרמטר אחד של קווים אלו, שהיא הפרבולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=x^2} , היא פתרון למד"ר הזו.

קאוסטיקות

קובץ:Circle caustic.png

קאוסטיקה הנוצרת על ידי מעגל וקרניים מקבילות

באופטיקה גאומטרית, הקאוסטיקה היא המעטפת של משפחה של קרני אור. בתמונה זו ישנה קשת של מעגל. קרני האור מגיעות ממקור "באינסוף" ולכן מגיעות מקבילות. כשהן פוגעות בקשת המעגלית קרני האור מפוזרות בכיוונים שונים לפי חוק ההחזרה. כשקרן אור פוגעת בקשת בנקודה האור יוחזר כאילו הוא היה מוחזר על ידי הקו המשיק לקשת בנקודה זו. המעטפת של הקווים הללו נקרא הקאוסטיקה הרפלקטיבית. קאוסטיקה רפלקטיבית תהיה מורכבת באופן גנרי מנקודות חלקות ונקודות חוד (cusp).

מנקודת המבט של חשבון הוריאציות, עקרון פרמה (בצורתו המודרנית) קובע כי קרני האור הם אקסטרמלים של פונקציונל האורך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L[\gamma]=\int\limits_a^b|\gamma'(t)|dt}

לאורך העקום החלק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} , עם נקודות קצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma(a),\gamma(b)} . הקאוסטיקה הנוצרת על ידי נקודה נתונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} (בתמונה הנקודה היא באינסוף) היא האוסף של נקודות הצמודות ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} .

עקרון הויגנס

אור עשוי לנוע דרך תווך לא איזוטרופי ולא הומוגני בקצבים שונים בתלות בכיוון ונקודת המיקום ההתחלתי של הקרן. השפה של האזור אליו אור יכול לנוע מנקודה נתונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec q} אחרי זמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} נקראת חזית הגל אחרי זמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} , ומסומנת כאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi_{\vec q}(t)} . היא מורכבת בדיוק מאותן הנקודות שניתן להגיע אליהן מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec q} בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} באמצעות תנועה במהירות האור (שעשויה להשתנות בחומר). עקרון הויגנס מאשר שאוסף חזיתות הגלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi_{\vec{q}_0}(s+t)} הוא המעטפת של משפחה של חזיתות גלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi_{\vec q}(s)} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec q\in\Phi_{\vec{q}_0}(t)} . באופן כללי יותר, הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{q}_0} יכולה להיות מוחלפת בכל עקום, משטח או קבוצה סגורה במרחב.