מספר לבג

בטופולוגיה, מספר לֶבֶּג של כיסוי פתוח של קבוצה במרחב מטרי, הוא המספר $\delta$ הגדול ביותר שכל קבוצה בקוטר הקטן ממנו, מוכלת באחד ממרכיבי הכיסוי. לפי הלמה של לבג, לכל כיסוי פתוח של קבוצה קומפקטית יש מספר לבג חיובי ממש. את הלמה הוכיח המתמטיקאי אנרי לבג.

הוכחה

תהי $X$ קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהי ${\mathcal {A}}$ כיסוי פתוח של $X$ . מהקומפקטיות נובע שקיים תת־כיסוי סופי. נסמן אותו $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {A}}$ . לכל $i\in \{1,\ldots ,n\}$ , נגדיר $C_{i}:=X\setminus A_{i}$ ; אלו קבוצות סגורות. נגדיר פונקציה $f:X\to \mathbb {R}$ לפי הנוסחה $f(x):=\max _{i}d(x,C_{i})$ (כאן $d$ מסמן את המרחק בין הנקודה לקבוצה. מרחק זה יכול גם להיות 0).

כיוון ש־${\mathcal {A}}$ הוא כיסוי, לכל נקודה $x\in X$ יש אינדקס $i$ עבורו $x\in A_{i}$ . כיוון ש־$A_{i}$ קבוצה פתוחה, הרי שקיים $\varepsilon >0$ כך שהסביבה של $x$ מוכלת ב־$A_{i}$ , ואז $f(x)\geq d(x,C_{i})\geq \varepsilon >0$ . בפרט, הפונקציה $f(x)$ לעולם אינה מתאפסת. אבל זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית, ולכן היא מקבלת שם מינימום. מינימום זה הוא חסם תחתון למספר לבג של הכיסוי.