מכפלה חופשית

בתורת החבורות, המכפלה החופשית (Free product) של שתי חבורות היא החבורה הכללית ביותר בה משוכנות שתי החבורות, ונוצרת על ידי תמונות איבריהן. המכפלה החופשית היא בעלת תכונה אוניברסלית, כפי שיתואר בהמשך. מושג המכפלה החופשית הופיע לראשונה אצל פליקס קליין ב-1883.

יש לה הצגה טבעית בעזרת יוצרים ויחסים, אשר עוזרות בפועל לחשב את המכפלה החופשית.

כפתרון בעיה אוניברסלית

יהיו $G,H$ שתי חבורות. נרצה להציג חבורה (יחידה) $U$, עם הומומורפיזמים $i:G\to U,j:H\to U$ כך שלכל חבורה $K$ ולכל שני הומומורפיזמים $\phi :G\to K,\psi :H\to K$ קיים ויחיד הומומורפיזם $L:U\to K$ כך ש-$L\circ i=\phi ,L\circ j=\psi$. כלומר, רוצים שהדיאגרמה הבאה תתחלף:

במילים אחרות, רוצים למצוא אובייקט אוניברסלי, הכולל חבורה ושתי העתקות $i,j,U$ עבור הבעיה האוניברסלית הנ"ל. מציאת אובייקט כזה פירושה שההעתקות מ-$G,H$ לחבורה נוספת נקבעות על ידי האובייקט האוניברסלי. מתכונות של אובקייטים אוניברסליים, נובע שאם נמצא אחד כזה, הוא יהיה יחיד עד כדי איזומורפיזם (כלומר, החבורה תהיה יחידה עד כדי איזומורפיזם והמפות יהיו מתואמות עם האיזומורפיזם של החבורות).

הגדרה מפורשת

נביט בקבוצת הסדרות מאיברי $G,H$ ועליה נגדיר יחס שקילות - ניקח את יחס השקילות המינימלי המקיים את ארבעת התנאים:

• $\forall g_{1},g_{2}\in G:(...,g_{1},g_{2},...)=(...,g_{1}g_{2},...)$ - קיבוץ איברים מ-$G$.
• $(...,a,1_{G},b,...)=(...,a,b,...)$ - ביטול איבר היחידה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} .
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall h_1,h_2 \in H:(...,h_1,h_2,...)=(...,h_1h_2,...)} - קיבוץ איברים מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} .
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (...,a,1_H,b,...)=(...,a,b,...)} - ביטול איבר היחידה מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} .

את קבוצת מחלקות השקילות המתקבלת נסמן על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G*H} , ועליה נגדיר את פעולת שרשור המילים. איבר היחידה הוא המילה הריקה.

בדיקות ישירות מראות כי מבנה זה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G*H} מוגדר היטב ומהווה חבורה, הנקראת המכפלה החופשית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} .

ההעתקות $i:G\to U,j:H\to U$ מוגדרות על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i(g)=(g), j(h)=(h)} (כלומר הן שולחות כל איבר למחלקה של המילה שהוא יוצר); העתקות אלו מהוות שיכונים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G,H} לתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G*H} . יותר מכך, כל החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G*H} נוצרת על ידי התמונות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i(G),j(H)} .

כעת, כדי לפתור את הבעיה האוניברסלית, בהינתן חבורה והומומורפיזמים כנ"ל, נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L:G*H \to K} על איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i(G),j(H)} (היוצרים את החבורה), באופן הבא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L((g))=\phi(g),L((h))=\psi(h)} . בדיקות ישירות מראות כי כל התנאים שנדרשו מתקיימים. בפרט רואים כי הגדרת $L$ נכפית כך שהדיאגרמה תתחלף, ולכן ההעתקה יחידה.

ייצוג על ידי יוצרים ויחסים

ניתן לתת ייצוג מפורש של המכפלה החופשית על ידי יוצרים ויחסים. פורמלית, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\langle S_1 \mid R_1 \rangle, H=\langle S_2 \mid R_2 \rangle} , אז מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G*H=\langle S_1,S_2 \mid R_1,R_2 \rangle}

כעת גם רואים מדוע החבורה נקראת מכפלה חופשית - זו החבורה הכללית ביותר המכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G,H} ומקיימת את היחסים שלהן (בנפרד) ורק אותם. לפי משפט גרושקו , מספר היוצרים המינימלי של המכפלה החופשית הוא סכום מספרי היוצרים המינימליים של שני הגורמים.

תכונות

• כאמור לעיל, זוהי החבורה הכללית ביותר המכילה את שתי חבורות הבסיס ונוצרת על ידי איבריהן.
• מכפלה חופשית של שתי חבורות לא טריוויאליות היא בעלת מרכז טריוויאלי.
• חבורה חופשית ביוצר אחד היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_1 \cong \mathbb{Z}} , וחבורה חופשית בכמות סופית של יוצרים ניתן לכתוב על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n = F_{n-1} * F_1} . מתקיים גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_n * F_m \cong F_{n+m}} .
• האבליניזציה כל מכפלה חופשית היא המכפלה הישרה של האבליניזציות, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ab(G*H)=Ab(G) \times Ab(H)} .

לפי משפט תת-החבורות של קורוש (1933), כל תת-חבורה של מכפלה חופשית G אפשר לפרק בעצמה למכפלה חופשית, שבה כל מרכיב הוא או ציקלי אינסופי, או צמוד (ב-G) לתת-חבורה של אחד המרכיבים. לפי משפט האיזומורפיזם למכפלות חופשיות, שגם אותו הוכיח קורוש ב-1933, אם אפשר להציג חבורה G כמכפלה חופשית בשתי דרכים, אז המרכיבים בשתי ההצגות איזומורפיים עד כדי סדר. לפי משפט העידון (Baer ולוי, 1936), אם אפשר להציג מכפלה חופשית בשתי דרכים, אז יש הצגה נוספת כך שכל גורם משתי ההצגות הראשונות הוא מכפלה חופשית של גורמים ממנה.

מקורות

• The History of Combinatorial Group Theory: a case study in the history of ideas, B. Chandler and W. Magnus, 1982; Chapter II.4, Free products and free products with amalgamations.

ראו גם

• חבורה חופשית
• הצגה על ידי יוצרים ויחסים
• מכפלת היתוך

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מכפלה חופשית36899634