מידת דיראק

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
תרשים המציג את כל תתי הקבוצות האפשריות של קבוצה בת 3 נקודות {x,y,z }. מידת דיראק δx קובעת גודל של 1 לכל הקבוצות בחצי השמאלי העליון של התרשים ו-0 לכל הקבוצות בחצי הימני התחתון.

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, מידת דיראק היא מידה שקובעת גודל לקבוצה רק על סמך הכלה או אי-הכלה של איבר קבוע x על ידי הקבוצה. זוהי דרך לפורמליזציה של הרעיון של פונקציית הדלתא של דיראק, כלי חשוב בפיזיקה ובתחומים הנדסיים אחרים.

הגדרה

בהינתן מרחב מדיד (Ω,Σ) ואיבר xΩ, מידת דיראק המתאימה ל-x מסומנת על ידי δx ומוגדרת באופן הבא, עבור קבוצה כלשהי AΣ:

δx(A)=1A(x)={0,x∉A;1,xA.

כאשר 1A היא הפונקציה המציינת של A.

מידת דיראק היא מידה אטומית, ו-x הוא האטום היחידוני היחיד בה. בנוסף, היא מידת הסתברות, המייצגת מצב של התקיימות התוצאה x כמעט בוודאות במרחב המדגם Ω. מידות דיראק הן נקודות הקצה (אנ') של הקבוצה הקמורה של מידות ההסתברות על Ω.

מידת דיראק מקבלת את שמה בעקבות פונקציית הדלתא של דיראק, בשל התנהגותן הדומה של השתיים. למשל, כאשר מבצעים אינטגרל לבג לפי מידת דיראק, מתקיים הקשר הבא:

Ωf(y)dδx(y)=f(x)

אשר דומה מאוד לקשר הבא, שנחשב לפעמים לחלק מההגדרה של פונקציית הדלתא:

f(y)δ(yx)dy=f(x)

תכונות

יהי (Ω,Σ) מרחב מדיד ותהי δx מידת דיראק שמרכזה xΩ.

נניח ש-(Ω,τ) הוא מרחב טופולוגי ושהסיגמא-אלגברה Σ עדינה לפחות כמו סיגמא-אלגברת בורל של (Ω,τ) (כלומר שכל קבוצת בורל היא מדידה).

הכללות

מידה בדידה דומה למידת דיראק, אלא שהיא מרוכזת בקבוצה בת מנייה של נקודות במקום בנקודה יחידה. בניסוח פורמלי יותר: מידה על הישר הממשי נקראת מידה בדידה (ביחס למידת לבג) אם התומך שלה הוא לכל היותר קבוצה בת מנייה.

קישורים חיצוניים

  • Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5.
  • Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מידת דיראק37216179Q1227387