מטריקת שוורצשילד

במסגרת תורת היחסות הכללית מטריקת שוורצשילד היא פתרון של משוואות השדה של איינשטיין המתארות את שדה הכבידה של התפלגות חומר, המעמיד תיאור של שדה הכבידה מחוץ להתפלגות חומר בעלת סימטריה כדורית. כמו כן, פתרון זה משמש לתיאור שדה הכבידה בתוך חורים שחורים נטולי מטען חשמלי ותנע זוויתי.

פתרון זה פורסם בשנת 1916 על ידי הפיזיקאי היהודי-גרמני, קרל שוורצשילד, והיה לפתרון המדויק הראשון למשוואות השדה של איינשטיין.

מטריקת שוורצשילד

בקואורדינטות שוורצשילד, האינטרוול $ds^{2}$ עבור מטריקת שוורצשילד הוא:

$ds^{2}=-(1-{\frac {2mG}{rc^{2}}})dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {2mG}{rc^{2}}}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})$

כאשר:

• c היא מהירות האור.
• m היא מסת המקור.
• G קבוע הכבידה.
• הקואורדינטה t מייצגת את הזמן שנמדד על ידי שעון הנמצא במרחק אינסופי מהמקור, בתחום בו המרחב-זמן בקירוב שטוח.
• הקואורדינטה r מייצגת את מנת היקפו של כדור שהמקור במרכזו עם $2\pi$ (קואורדינטה זו אינה מייצגת את המרחק מהראשית).
• הקואורדינטה $\theta$ מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר z (בדומה לקו רוחב), כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפאי ביחידות של רדיאנים.
• הקואורדינטה $\phi$ היא זווית אזימוטלית: היא מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על מישור x-y לבין ציר x. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi} ביחידות של רדיאנים.

היסטוריה

בשנת 1916, מעט יותר מחודש לאחר שפרסם אלברט איינשטיין את תורת היחסות הכללית, פרסם קרל שוורצשילד את מאמר בו מתואר פתרון מדויק שהוא מצא, בעודו משרת בצבא הגרמני בעת מלחמת העולם הראשונה. היה זה הפתרון המדויק הראשון למשוואות השדה של איינשטיין והוא היווה פריצת דרך משמעותית בהבנה של מושגי יסוד בתורת היחסות הכללית, כפי שהיא מוכרת כיום. זמן קצר לאחר פרסום מאמר זה, הלך קרל שוורצשילד לעולמו.

נדרשה תקופה ממושכת על-מנת להפיג את הבלבול שהתעורר בעקבות גילוי נקודות הסינגולריות במטריקת שוורצשילד ובפתרונות שנמצאו לאחר מכן למשוואות איינשטיין. אמנם במהרה הובן כי הסינגולריות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=0} היא אכן סינגולריות של עקמומיות, אך נדרש מאמץ רב להתהוות ההבנה כי הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_s=\frac{2mG}{c^2}} , היא סינגולריות קואורדינטית שניתנת להסרה על ידי החלפת מערכת קואורדינטות, וכי משטח זה מהווה אופק אירועים של חור-שחור. בשנת 1924, מצא ארתור אדינגטון טרנספורמציית קואורדינטות מקואורדינטות שוורצשילד לקואורדינטות אדינגטון-פינקלשטיין אשר הראתה שמקור הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד הוא בבחירת מערכת הקואורדינטות. בשנת 1939, הראה הווארד פרסי רוברטסון שצופה בנפילה חופשית במטריקת שוורצשילד יחצה את רדיוס שוורצשילד בזמן עצמי סופי, אף-על-פי שיידרש זמן אינסופי כפי שנמדד על ידי הקואורדינטה t.

בשנת 1950, הציג ג'ון לייטון סינג' את ההמשכה האנליטית המקסימלית של מטריקת שוורצשילד ובכך הראה שוב את הרגולריות של רדיוס שוורצשילד ואת העובדה שרדיוס זה מהווה את אופק האירועים של חור-שחור. עשור אחריו, בשנת 1960, הגיע מרטין קרוסקל לתוצאה דומה.

בשנות ה-60 של המאה ה-20, התבסס השימוש בכלים של גאומטריה דיפרנציאלית בתורת היחסות הכללית, ובעקבות כך זוקקה באופן סופי ההבנה כי רדיוס שוורצשילד אינו מהווה נקודה סינגולרית פיזיקלית, אלא אופק אירועים של חור-שחור.

רקע

מכאן והלאה, לשם הקיצור, המשוואות מוצגות ביחידות טבעיות, בהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = G = 1} .

תורת היחסות הכללית של איינשטיין מתארת את שדה הכבידה שנוצר כתוצאה מהתפלגות חומר וכיצד שדה הכבידה הזה משפיע על תנועת החומר וחוזר חלילה. במסגרת התורה, שדה הכבידה אינו כוח פיזיקלי כשאר הכוחות, אלא הוא מבוטא על ידי עקמומיות ביריעת המרחב-זמן. תנועת חלקיקים במרחב-זמן עקום בהיעדר כוחות חיצוניים (למשל כוחות אלקטרומגנטיים) היא לאורך גאודזיות, שהן הכללת מושג הקו הישר ליריעה בעלת עקמומיות. התפלגות התוכן החומרי, אשר מבוטאת באמצעות טנזור תנע-אנרגיה, מכתיבה את הגאומטריה של המרחב-זמן דרך משוואות השדה של איינשטיין, שבצורה קומפקטית ניתנות לרישום באופן הבא:

(1) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}}

באגף שמאל נמצא טנזור איינשטיין ובאגף ימין טנזור התנע-אנרגיה מוכפל בקבוע.

בריק, משוואות איינשטיין מצטמצמות למערכת המשוואות הסגורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{\mu \nu}=0} , כאשר $R_{\mu \nu }$ הוא טנזור ריצ'י. בנוכחות חומר, לעומת זאת, משוואות השדה של איינשטיין אינן מהוות מערכת סגורה, ולשם הסגירות נחוצות גם משוואות החומר המתאימות, למשל, משוואות מקסוול בנוכחות שדות אלקטרומגנטיים או משוואת קליין-גורדון בנוכחות שדה סקלרי.

בשנת 1916, חודש לאחר פרסום משוואות השדה של איינשטיין, פרסם קרל שוורצשילד את הפתרון המדויק למשוואות השדה של איינשטיין בסימטריה כדורית בריק. שדה כבידה בעל סימטריה כדורית מתקבל כתוצאה מכל התפלגות חומר בעלת סימטריה כדורית ושתנועתו שומרת על הסימטריה. למשל, ניתן לחשוב על כדור סטטי או כוכב בעל תנועות פעימה כדוריות.

תוך שימוש בקואורדינטות הכדוריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r,\theta,\phi)} , האינטרוול הכללי ביותר שמתאים למקרה של סימטריה כדורית היא:

(2) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds^2=g_{TT}dT^2+g_{RR}dR^2+g_{R,T}dRdT+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)}

מהשרירותיות בבחירת מערכת קואורדינטות בתורת היחסות הכללית נובע כי ניתן לבצע כל טרנספורמציית קואורדינטות שתשמר את הסימטריה הכדורית. נוח להשתמש בבחירה של הילברט ולעבור לקואורדינטות חדשות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=t(T,R)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1(R,T)} , כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{1}(R,T)=r} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{rt}=0} . בדרישה זו הותרנו חופש כיול שיורי לטרנספורמציות $t\mapsto \mathrm {T} (t)$, מכיוון שהתאפסות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{rt}} גוררת את התאפסות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{r\Tau}} על ידי משוואות הטרנספורמציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{r\Tau}=g_{rt}\Tau_{,t}} . האינטרוול המתקבל הוא:

(3) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds^2=g_{tt}(r,t)dt^2+g_{rr}(r,t)dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)}

נבחר להניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{rr}>0} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{tt}<0} , כלומר ש-$r$ הוא קואורדינטה מרחבית ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} קואורדינטה זמנית. תחת הנחה זו, נוח לסמן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{rr}=e^\lambda } ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{tt}=-e^\nu} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} הן פונקציות כלשהן של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} ו-$t$. הביטוי הבא לאינטרוול מתקבל:

(4) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds^2=-e^\nu dt^2+e^\lambda dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)}

עבור המטריקה המתאימה לאינטרוול זה, משוואות השדה של איינשטיין בריק הן:

(5) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\lambda}(r\nu_r+1)-1=0}

(6) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\lambda}(1-r\lambda_r)-1=0}

(7) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\lambda}\dot{\lambda}=0}

(8) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\lambda}(\nu_{rr}+{\nu_r^2 \over 2}+{\nu_r-\lambda_r \over r}-{\lambda_r\nu_r\over 2})-e^{-\nu}(\lambda_{tt}+{\lambda_t^2\over 2}-{\lambda_t\nu_t\over 2})=0}

משוואה (8) נובעת ממשוואות (5) ו-(6). ממשוואה (7) ניתן להסיק מיידית כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda=\lambda(r)} . נחסר את משוואה (6) ממשוואה (5) ונקבל: $e^{-\lambda }r(\nu _{r}+\lambda _{r})=0$, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\nu+\lambda)_r=0} , על-כן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu=f(t)-\lambda(r)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} בלבד. כזכור, נותר עוד חופש כיול שיורי, על-כן נבצע טרנספורמציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\mapsto\Tau(t)} שמקיימת את התנאי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d\Tau \over dt}=e^{{1 \over 2}f(t)}} ונקבל:

$e^{\nu }=g_{\mathrm {T} \mathrm {T} }=g_{tt}({dt \over d\mathrm {T} })^{2}=e^{\nu }(e^{-{1 \over 2}f(t)})^{2}=e^{f(t)-\lambda (r)}e^{f(t)}=e^{-\lambda (r)}$

כלומר קיבלנו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu=-\lambda(r)} . נציב תוצאה זו במשוואה (5) ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\lambda}(1-r\lambda_r)=1} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (re^{-\lambda})_r=1} , לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\nu}=e^{-\lambda}=1+{constant \over r}} . מטריקה זו מתאפיינת בשטיחות אסימפטוטית, כלומר הרחק ממקור הכבידה המטריקה מתכנסת למטריקה הגלילאית השטוחה. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{r \to \infty}e^{\lambda}=1, \lim_{r \to \infty}(-e^{\nu})=-1} . מהשוואה עם הגבול הניוטוני, היינו מהדרישה לקיום משטר ניוטוני בשדה חלש בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{tt}=-(1-2\phi), \phi=-{m \over r}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} היא המסה הכוללת של מקורות הכבידה, נקבל את ערך הקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{constant}=2m\equiv r_s} אשר מכונה רדיוס שוורצשילד. האינטרוול המתקבל (ביחידות גאומטריות, כזכור) הוא:

(9) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds^2=-(1-{2m \over r})dt^2+{dr^2 \over (1-{2m \over r})}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)}

קיבלנו משפחה חד-פרמטרית של פתרונות עם פרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , פתרונות אלו הם סטטיים ומתאפיינים בשטיחות אסימפטוטית. זוהי מטריקת שוורצשילד מבוטאת בקואורדינטות שוורצשילד. בשנת 1923 הוכיח המתמטיקאי האמריקני, ג'ורג' דייוויד בירקהוף, משפט יחידות לפיו בהינתן גאומטריה של תחום כלשהו במרחב-זמן בעלת סימטריה כדורית ומהווה פתרון למשוואות השדה של איינשטיין בריק, אזי גאומטריה זו היא פיסה מגאומטריית שוורצשילד. משפט זה מוכר כמשפט בירקהוף (Birkhoff). השדה החיצוני של כל כוכב כדורי נייטרלי חשמלית, בין אם הוא סטטי, פועם או קורס, מקיים את תנאי משפט בירקהוף, על-כן, השדה החיצוני מהווה פיסה מגאומטריית שוורצשילד. כוכב בעל סימטריה כדורית שפועם אינו פולט גלי כבידה, מכיוון שהפתרון הוא סטטי. עובדה זו היא ביטוי למשפט בירקהוף. דבר דומה מתרחש באלקטרודינמיקה, שם מטען פועם בעל סימטריה כדורית אינו פולט גלים אלקטרומגנטיים, שכן משוואות מקסוול אוסרות על קרינת מונופול. במקרה של כוכב בקריסה כבידתית, פני השטח שלו נעים במסלול של ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} שהולכים וקטנים, עד אשר הם חוצים את רדיוס שוורצשילד. חציית רדיוס שוורצשילד וכניסה לתחומים בהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r<2m} היא תהליך בלתי הפיך שמוביל לנפילת החומר אל עבר הסינגולריות ובכך נוצר חור שחור.

גאודזיות דמויות-זמן במרחב-זמן שוורצשילד

בבואנו לחקור את תנועתם של חלקיקים בגאומטריית שוורצשילד, בדומה לגאומטריות אחרות, ניטיב אם נתבונן תחילה בסימטריות הקיימות. מהתבוננות באינטרוול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds^2} של פתרון שוורצשילד, ניתן להיווכח כי המטריקה בלתי תלויה בקואורדינטות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} . קואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^K} שמקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{\mu \nu, K}=0} נקראת קואורדינטה ציקלית. קואורדינטה זו מגדירה שדה קילינג על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi^\mu=\delta_K^\mu} . תנועה לאורך גאודזיה כלשהי משמרת את המכפלה הפנימית של הווקטור המשיק לגאודזיה עם וקטור קילינג, כלומר:

(10) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_K=\mathbf{p}\cdot\mathbf{\xi}=\mathrm{constant}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_K} הוא התנע הצמוד לקואורדינטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^K} והוא גודל נשמר. במקרה של שוורצשילד, הגדלים הנשמרים הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_t=-mu_t\equiv e} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_\phi=mu_\phi\equiv l} . הגודל הראשון הוא האנרגיה, מכיוון שבתחומי שדה חלש, מטריקת שוורצשילד מתכנסת למטריקת מינקובסקי, שם:

(11) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\gamma mc^2=\gamma m = mu^t=mg^{tt}u_t=-mu_t} .

באופן דומה, הגודל השני הוא התנע-הזוויתי. מעקרון השקילות, ידוע כי חלקיקי בחן נעים לאורך קווי עולם זהים, ללא תלות במסה שלהם, על-כן טבעי יותר לעבוד עם הגדלים הבאים:

(12) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E={e \over m}} - אנרגיה ליחידת מסה

(13) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L={l \over m}} - תנע-זוויתי ליחידת מסה

כעת נוכל בעזרת דרישת הנרמול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{\mu \nu}u^{\mu}u^{\nu}=-1} לקבל את המשוואה הרדיאלית:

$-1=g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=g^{tt}u_{t}^{2}+g_{rr}{\dot {r}}^{2}+g^{\phi \phi }u_{\phi }^{2}=g^{tt}E^{2}+g_{rr}{\dot {r}}^{2}+g^{\phi \phi }L^{2}={1 \over 1-{2m \over r}}({\dot {r}}^{2}-E^{2})+{L^{2} \over r^{2}}$

לכן המשוואה הרדיאלית היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{r}^2=E^2-U_{\mathrm{effective}}} כאשר הפוטנציאל האפקטיבי הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{\mathrm{effective}}(r)=(1-{2m \over r})(1+{L^2 \over r^2})} .

נפתח את הסוגריים בביטוי לפוטניאל האפקטיבי ונקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{\mathrm{effective}}(r)=1-{2m \over r}+{L^2 \over r^2}-{\color{Red}{2mL^2 \over r^3}}} , כאשר האיבר האחרון המופיע באדום אינו מופיע בתורה הניוטונית. הבדל זה מוביל לכך שבשונה מהתורה הניוטונית בה ישנו מסלול מעגלי יציב בלבד, בפתרון שוורצשילד קיים בנוסף גם מסלול מעגלי בלתי-יציב. כמו כן, חלקיק בעל תנע-זוויתי כלשהו, יכול עבור אנרגיה מספיק גדולה להגיע ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=0} . בנוסף, ישנה נקיפה של מסלולים אליפטיים, כפי שהודגם עבור כוכב חמה.

גאודזיות דמויות-אור במרחב-זמן שוורצשילד

כאשר אנו עוסקים בגאודזיות דמויות-אור, במקום זמן-עצמי ישנו פרמטר אפיני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} , כלומר מסלול הפוטון מתואר על ידי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^\alpha=x^\alpha(\lambda)} . הווקטור המשיק למסלול זה הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k^\alpha={dx^\alpha \over d\lambda}} . נורמת וקטור דמוי-אור היא אפס, כלומר מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{\mu \nu}k^{\mu}k^{\nu}=0} . כעת הגדלים הנשמרים, היינו התנעים הצמודים, הם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{\phi}=L, k_t=E} . באופן דומה לפיתוח עבור גאודזיות דמויות-זמן נקבל את המשוואה הרדיאלית מדרישת הנרמול:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0=g_{\mu \nu}k^{\mu}k^{\nu}=g_{rr}\dot{r}^2+g^{tt}E^2+g^{\phi \phi}L^2={1 \over 1-{2m \over r}}(\dot{r}^2-E^2)+{L^2 \over r^2}}

לכן המשוואה הרדיאלית היא: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\dot {r}}^{2}=E^{2}-U_{\mathrm {effective} }(r)} כאשר $U_{\mathrm {effective} }=(1-{2m \over r}){L^{2} \over r^{2}}$.

שוב נקבל דיאגרמת אנרגיה שממנה ניתן ללמוד שלפוטון קיים מסלול מעגלי בלתי יציב ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=3m} .

בעיית הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד

מהתבוננות באינטרוול שקיבלנו בפתרון שוורצשילד: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ds^2=-(1-{2m \over r})dt^2+{dr^2 \over (1-{2m \over r})}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)} ניתן להיווכח כי ישנם שני ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} עבורם המטריקה סינגולרית: ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=0} וב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=2m} , כלומר רדיוס שוורצשילד. די מהר נתחוור כי הסינגולריות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=0} היא סינגולריות של עקמומיות. אולם נדרש זמן רב על-מנת לעמוד על טיבה של הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד. התברר שבבחירה מתאימה של מערכת קואורדינטות חדשה, המטריקה המתקבלת רגולרית ברדיוס שוורצשילד.

הרגולריזציה של האופק, אדינגטון-פינקלשטיין, קרוסקל-זקרס.

דיאגרמת קרוסקל

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

דיאגרמת פנרוז

דיאגרמת פנרוז, הקרויה על-שם הפיזיקאי והמתמטיקאי הבריטי, רוג'ר פנרוז, היא הצגה קונפורמית דו-ממדית של המרחב-זמן. היא משמרת את המבנה הסיבתי של המרחב-זמן ומבצעת קומפקטיפיקציה כך שהמרחב-זמן האינסופי ממופה לתחום הסופי של הדיאגרמה. דיאגרמת פנרוז עבור מרחב-זמן שוורצשילד מתקבלת באופן פשוט מדיאגרמת קרוסקל.

עקמומיות סינגולרית

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ראו גם

• פתרון רייזנר-נורדסטרום
• פתרון קר-ניומן

לקריאה נוספת

• Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1970). Gravitation. W.H. Freeman. Chapters 31 and 32. מסת"ב 0-7167-0344-0
• Stehphen Hawking and George Ellis, "The Large-Scale Structure of Spactime
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1951). The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics 2 (4th Revised English ed.). Pergamon Press. Chapter 12. מסת"ב 0-08-025072-6
• Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons. Chapter 8. מסת"ב 0-471-92567-5

קישורים חיצוניים

• סיכומי הרצאות על של שון קרול בנושא פתרון שוורצשילד וחורים שחורים, באתר של קרול (Sean M. Carroll)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34600854מטריקת שוורצשילד