מורן I

מורן I (באנגלית: Moran's I) הוא מונח בסטטיסטיקה מרחבית, המייצג מדד למתאם עצמי מרחבי. המדד פותח על ידי החוקר האוסטרלי פטריק מורן ונקרא על שמו.

מתאם עצמי מרחבי מאופיין בדמיון בין אזורים סמוכים במרחב ביחס לערכי פרמטר מסוים $x$, כאשר דמיון זה דועך כתלות במרחק בין האזורים. מדד מורן I תחום בין $\pm 1$, כאשר ערך מורן I קרוב ל-$1$ מעיד על מתאם חיובי בין ערכי $y$ באזורים סמוכים, ואילו ערך מורן I קרוב ל $-1$ מעיד על מתאם שלילי בין ערכי $x$ באזורים סמוכים.

מורן I מוגדר מעל מטריצת משקלות $W$, אשר מקודדת את היחסים המרחביים בין מיקום למיקום. לדוגמה כאשר מתייחסים למרחק בין מדינות האם משקללים את ההשפעה של מדינות בעלות גבול משותף עם מדינה שכנה, או רק את ההשפעה של מדינות שכנות. הגדרה שונה של מטריצת המשקלות יכולה לגרום לשינו בערכו של מורן I, אף אם ערכי הפרמטר עבורם מחושב המדד נשארים זהים. רגישות זו של המדד למטריצת המשקולות מצריכה שיקול דעת בבחירת מטריצת המשקולות המתאימה לכל מקרה. כאשר מוגדרת מטריצת המשקולות על פי יחסי שכנות, נהוג לתקנן לפי שורות את המטריצה. זאת מאחר שללא תקנון מדד מורן I מעניק משקל גבוה ביחס ישר למספר השכנים לכל מיקום. כך, לאחר התקנון כל מיקום מקבל משקל שווה בחישוב המדד.

מדד מורן I הגלובלי

על מנת לחשב את מדד מורן I הגלובלי, ראשית עבור כל שני מיקומים $i,j$, מחושב האם ערכי $x$ שלהם חורגים באותו הכיוון מממוצע ערכי ה-$x$ בכל המיקומים. חישוב זה מבוצע באמצעות הביטוי: $(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})$

כאשר $\overline{x}=\frac{1}{N}\sum x_i$ ו-$N$ מספר המיקומים במחקר.

הביטוי $(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})$ מוכפל במשקולת הרלוונטית במטריצת המשקולות $w_{ij}$, על מנת להתייחס לכך שהתלות בין מיקומים רחוקים תורמת פחות למדד הכללי.

המדד הגלובלי מחשב את הסכום של ביטוי זה עבור כל זוג מיקומים: $\sum _i\sum _j{w}_{ij}(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})$, ומחלק את התוצאה בשונות הכללית של-$x$: $\sum _i(x_i-\overline{x}{)}^2$. . בכך נוצר מדד יחסי לשונות של $x$, המייצג את החלק היחסי המוסבר על ידי ערכים באזורים סמוכים. לבסוף, כדי שהמדד יהיה חסום בין $\pm 1$ מוכפל הביטוי במספר המיקומים במחקר $N$ חלקי סכום כל המשקולות $W=\sum _i\sum _j{w}_{ij}$

$I=\frac{N}{W}\frac{\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{w}_{ij}(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})}{\sum _{i=1}^N(x_i-\overline{x}{)}^2}$

מורן I מחושב עבור דפוסים שונים של פיזור ערכי $x$ במרחב. מטריצת המשקולות מוגדרת כ- $w_{ij}=1$ אם $j$ ו-$i$ סמוכים, ולאחר מכן המטריצה מנורמלת לפי שורה. התמונה השמאלית עליונה מציגה מתאם מרחבי שלילי, והימנית עליונה מתאם חיובי. התמונה השמאלית תחתונה מציגה פיזור אקראי ובהתאם ערך I קרוב ל-0 (או $-1/(N-1)\simeq -0.04$ ). התמונה הימנית תחתונה לעומת זאת מציגה מעין כתם דיו המתפשט בפעפוע, ובהתאם חישוב המתאם המרחבי יוצא חיובי.

התוחלת של מורן I

כאשר אומדים את ערכו של מורן I, נהוג להניח השערת 0 לפיה אין כלל מתאם מרחבי בין אזורים. במקרה זה התוחלת שווה ל:

$\mathbb{𝔼}(\text{Moran I}|H_0)=\frac{-1}{N-1}$

והשונות ל:

$\mathrm{Var}(\text{Moran I}|H_0)=\frac{N{S}_4-S_3{S}_5}{(N-1)(N-2)(N-3)W^2}-\mathbb{𝔼}(\text{Moran I}|H_0{)}^2$

כאשר

$S_1=\frac{1}{2}\sum _i\sum _j(w_{ij}+w_{ji}{)}^2$

$S_2=\sum _i{(\sum _j{w}_{ij}+\sum _j{w}_{ji})}^2$

$S_3=\frac{N^{-1}\sum _i(x_i-\overline{x}{)}^4}{(N^{-1}\sum _i(x_i-\overline{x}{)}^2{)}^2}$

$S_4=(N^2-3N+3)S_1-N{S}_2+3W^2$

$S_5=(N^2-N)S_1-2N{S}_2+6W^2$

בהתאם ניתן לערוך מבחן סטטיסטי, ולחשב את ההסתברות (ערך-p) לקבלת כל ערך של מורן I בטווח $\pm 1$. ערכים נמוכים מ-$-1/(N-1)$ מצביעים על מתאם מרחבי שלילי, ואם סבירותם קטנה מאוד נאמר כי המתאם השלילי מובהק. באופן דומה ערכים גבוהים מ $-1/(N-1)$ מצביעים על מתאם מרחבי חיובי. ואם סבירותם קטנה מאוד נאמר כי המתאם השלילי מובהק. נהוג להתייחס להסתברות קטנה מ-5% ($\alpha =5\mathrm{\%}$). אלטרנטיבה לחישוב ערך ה-p של מורן I היא שימוש במבחנים מבוססי פרמוטציות (Permutation tests).

מדד מורן I המקומי

מדד מורן I הגלובלי הוא מדד מסכם לכלל המיקומים במחקר. עם זאת, לעיתים קיימות תופעות מקומיות אשר אינן משותפות לכלל המיקומים. לפיכך, פותחו מדדים מקומיים המאפשרים בחינה סטטיסטית של תופעות מקומיות. מורן I מקומי הוא מדד המאפשר לבחון את מובהקותו של מתאם מרחבי במיקום מסוים.

בדומה למדד הכללי, עבור מיקום $i$ אותו רוצים לבחון, מחושב האם ערך ה-$x$ שלו חורג באותו הכיוון מ-$\overline{x}$ כמו ערך ה-$x$ בכל אחד מהמיקומים האחרים $x_{j\ne i}$ באמצעות הביטוי $(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})$. ביטוי זה מוכפל במשקולת $w_{ij}$, ונסכם עבור כל המיקומים $x_{j\ne i}$:

$\sum _{j\ne i}{w}_{ij}(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})$

ביטוי זה מחולק בשונות הערכים בכל המיקומים האחרים $x_{j\ne i}$ ביחס לממוצע:

$S_i^2=\frac{\sum _{j\ne i}(x_j-\overline{x}{)}^2}{(n-1)}$

כך שמדד מורן I המקומי מקבל את הביטוי:

$I_i=\frac{\sum _{j\ne i}{w}_{ij}(x_i-\overline{x})(x_j-\overline{x})}{S_i^2}$

מאחר שהביטוי $x_i-\overline{x}$ קבוע ביחס לסכום, ניתן להוציאו מחוץ לסכום:

$I_i=\frac{x_i-\overline{x}}{S_i^2}\sum _{j\ne i}{w}_{ij}(x_j-\overline{x})$

מדד מורן I המקומי יכול לאפיין מיקומים בהם ערך ה-$x$ דומה לערכים של מיקומים סביבו או שונה מהם, מעבר למצופה תחת פיזור אקראי של ערכי $x$. במקרה ובו בוחנים מקומות רבים, על מנת להימנע מניפוח טעות מסוג ראשון, ניתן להשתמש בתיקון לבעיית ההשוואות המרובות כמו תיקון ביניימיני הוכברג, שמגביל את שיעור התגליות השגויות.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מורן I41263252Q3150399