מומנט כוח

מומנט כוח (באנגלית אמריקנית: Torque באנגלית בריטית: Moment, Moment of force) הנקרא גם מומנט סיבוב או פשוט מומנט הוא מושג בפיזיקה ובמכניקה, מתחום הדינמיקה הסיבובית במכניקה של גוף קשיח, המקביל לכוח בדינמיקה. המומנט הוא גודל וקטורי.

מבוא אינטואיטיבי

במקרים רבים הנתון המשמעותי הוא מכפלת הכח באורך הזרוע. אם לדוגמה נפעיל כח של 1 ניוטון על מפתח שוודי באורך 30 ס"מ ההשפעה על המפתח תהיה זהה למקרה בו היינו מפעילים כח של 3 ניוטון על מפתח באורך 10 ס"מ. דוגמה נוספת: אופן סיבובה של נדנדה ייקבע לפי מכפלת משקל הגוף במרחקו מציר הסיבוב של הנדנדה. אם נחזור לדוגמה של המפתח השוודי נראה כי כדי לדעת אם האום ייפתח, או לחלופין את מהירות הסיבוב של האום בפתיחתו, איננו צריכים לדעת את גודל הכח המופעל ולא את אורך המפתח, הנתון היחיד הדרוש לנו הוא המומנט- מכפלת הכח באורך הזרוע.

פורמליזם מתמטי

תרשים להבהרת המושגים במומנט סיבוב. צורה פשוטה יותר להבין את משמעות ה־sin שנוסף לנוסחה היא שמתייחסים רק לרכיב הכוח שמאונך למוט.

כלל יד ימין לקביעת כוון הווקטור

המומנט מוגדר פיזיקלית כמכפלת הכוח הפועל בזרוע הכוח, או ברישום מתמטי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \tau = \vec{r} \times \vec{F} }

כאשר:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \tau} מסמל את המומנט
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec F} הוא וקטור הכוח
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec r} הוא וקטור המרחק בין ציר הסיבוב של הגוף לבין נקודת הפעלת הכוח
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \times} הוא סימן המכפלה הווקטורית

מכאן שגודלו הסקלרי של המומנט נתון בנוסחה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = rF \sin \theta}

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} – הזווית בין הזרוע לבין הכוח

היחידות בהן נמדד המומנט, כמו שנובע מנוסחה זו, הן כוח כפול מרחק, יחידות ניוטון־מטר. אף על פי שהיחידות של מומנט שקולות ליחידות של אנרגיה, לא נהוג למדוד את המומנט ביחידות של אנרגיה (ג'ולים).

באופן המקביל לחוק השני של ניוטון, ניתן להגדיר את המומנט כשינוי לפי הזמן של התנע הזוויתי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{ \tau} = \frac{\mathrm d \vec{ L}} {\mathrm d t} }

הגדרה זו שקולה להגדרה הקודמת שכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\mathrm d \vec{L}} {\mathrm d t} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} ( \vec{r} \times \vec{p} ) = \vec{r} \times \frac{\mathrm d \vec{p} }{\mathrm d t} + \frac{\mathrm d \vec{r} }{\mathrm d t} \times \vec{p} = \vec{r} \times \vec{F} + \vec{v} \times m\vec{v} = \vec{r} \times \vec{F} }

כאשר:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v}} – וקטור המהירות
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} – המסה

בהוכחה נעזרנו בהגדרה של כוח כנגזרת בזמן של התנע הקווי, של התנע כמכפלת המהירות והמסה ובעובדה שמכפלה וקטורית של שני וקטורים תלויים ליניארית היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{0}} .

חוקי המומנט

לגבי המומנט יש שלושה חוקים הדומים לחוקי ניוטון:
1. לשם השגת שיווי משקל מכני נחוץ לא רק שסכום הכוחות הפועלים על הגוף יהיה 0, אלא גם שסכום המומנטים עליו יהיה 0, צריך להתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum \vec \tau = 0}

בדומה לחוק הראשון של ניוטון:

$\sum {\vec {F}}=0$

2. התאוצה הזוויתית של הגוף מתקבלת על פי הנוסחה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum \vec \tau = I\ \vec \alpha}

כאשר:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \alpha} - התאוצה הזוויתית של גוף
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} - מומנט ההתמד של הגוף שהוא גודל סקלרי, לא וקטור

בדומה לחוק השני של ניוטון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum \vec F = m\ \vec a}

3. חוק הפעולה והתגובה: כאשר שני גופים מסתובבים סביב אותו ציר סיבוב, המומנט שגוף אחד מפעיל על השני גורם למומנט שווה בגודלו והפוך בסימנו שמפעיל הגוף השני על הראשון.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec \tau1 = - \vec \tau2 }

בדומה לחוק השלישי של ניוטון:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec F1 = - \vec F2 }

עבודה

העבודה שמבצע המומנט לאורך הזווית היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W = \tau \theta}

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} - העבודה
• $\tau$ - המומנט
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} - הזווית לאורכה מתבצעת התנועה

בדומה לחוק המוכר מתנועה קווית ישרה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W = Fx}

מומנט והספק

הקשר בין ההספק, המומנט ומהירות הסיבוב נתון על ידי המכפלה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P = T \times \omega }

כאשר:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} - הספק
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} - מהירות סיבוב
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} - מומנט

ביחידות SI, ההספק נמדד בוואט, המומנט בניוטון כפול מטר ומהירות הסיבוב ברדיאנים לשנייה.

ביחידות שונות:

ביחידות בריטיות (אימפריאל), כאשר ההספק נמדד בכוח סוס (1 כ"ס = 746 ואט), המומנט בליברה כפול פיט ומהירות הסיבוב בסיבובים לדקה.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \mbox{ (hp)} \approx \frac{ \mbox{T(lbf}\cdot\mbox{ft)} \times \omega \mbox{ (rpm)} }{5252} }

כאשר ההספק נמדד בכוחות סוס, (1 כ"ס = 746 ואט), המומנט בליברה כפול אינץ' ומהירות הסיבוב בסיבובים לדקה.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \mbox{ (hp)} \approx \frac{ \mbox{T(lbf}\cdot\mbox{inch)} \times \omega \mbox{ (rpm)} }{63000} }

כאשר ההספק נמדד בכוח סוס מטרי, (1 כ"ס = 736 ואט), המומנט בק"ג כוח כפול סנטימטר ומהירות הסיבוב בסיבובים לדקה.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \mbox{ (hp)} \approx \frac{ \mbox{T(kg}\cdot\mbox{cm)} \times \omega \mbox{ (rpm)} }{71620} }

ראו גם

• תנע זוויתי
• מכניקה
• מכניקה של גוף קשיח
• מומנט כפיפה
• מאמץ פיתול
• מנוף (מכניקה)

לקריאה נוספת

• McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Book Company 1983, מסת"ב 0-07-045486-8
• Tipler Paul, Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics 5th ed W. H. Freeman, 2004 מסת"ב 0716708094

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מומנט כוח בוויקישיתוף

• פיתול, באנגלית באתר Answers.com
• מחשבון המרת יחידות של מומנטי סיבוב
• כוח ומומנט, באתר ג'יפולוג
• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32664676מומנט כוח