יחס כפול

בהינתן רביעיית נקודות $(a,b,c,d)$ במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}$ . שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס $\frac{a-c}{a-d}$ ובין היחס $\frac{b-c}{b-d}$ .

היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות $(a,b,c,d)$ יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את $(a,b,c,d)$ ב-$(b,a,d,c)$ נקבל את הביטוי $\frac{(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}$ , השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול $\lambda$ , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

תמורה	תיאור קצר	ערכו של היחס הכפול
$(z_1,z_2;z_3,z_4)$	תמורת הזהות	$\lambda$
$(z_1,z_2;z_4,z_3)$	$z_3\leftrightarrow z_4$	$\frac{1}{\lambda }$
$(z_1,z_3;z_2,z_4)$	$z_2\leftrightarrow z_3$	$1-\lambda$
$(z_1,z_3;z_4,z_2)$	$z_2\leftarrow z_4\leftarrow z_3\leftarrow z_2$	$\frac{1}{1-\lambda }$
$(z_1,z_4;z_3,z_2)$	$z_2\leftrightarrow z_4$	$\frac{\lambda }{\lambda -1}$
$(z_1,z_4;z_2,z_3)$	$z_2\leftarrow z_3\leftarrow z_4\leftarrow z_2$	$\frac{\lambda -1}{\lambda }$

היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית

ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו

$a=(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_0}{a_1}),b=(\genfrac{}{}{0ex}{}{b_0}{b_1}),c=(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_0}{c_1}),d=(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_0}{d_1})$

ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהי $T$ העתקה פרויקטיבית עבורה $T(a)=\mathrm{\infty },T(b)=0,T(c)=1$ . היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות $T(d)$ .

הוכחת השקילות

מהיות $a,b,c$ שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את $c$ כצירוף לינארי $c=\alpha a+\beta b$ . אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש $a=\alpha a,b=\beta b$ . כלומר מתקיים $T(\alpha a)=(1,0)$ (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן $T(\beta b)=(0,1)$ (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).

כמו את $c$ , ניתן לבטא גם את $d$ כצירוף לינארי $d=\gamma a+\delta b$ . מכך נובע:

$$T(d)=T(\frac{\gamma }{\alpha }(\alpha a)+\frac{\delta }{\beta }(\beta b))=\frac{\gamma }{\alpha }(1,0)+\frac{\delta }{\beta }(0,1)=(\frac{\gamma }{\alpha },\frac{\delta }{\beta })=(\frac{\gamma \beta }{\alpha \delta },1)$$

באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ , ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות. יחס_כפול18022327Q899539