טריגונומטריה ספירית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע:

  • הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או α,β,γ).
  • הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות a,b,c).
(הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : a=aR,b=bR,c=cR ).

ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ).

משפטים

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם  a ו- b, ואורך היתר הוא  c, אז  a2+b2=c2. בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: cos(cR)=cos(aR)cos(bR).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה cosα לטור מקלורן: cosα=1α22+...
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: (1c22R2+...)=(1a22R2+...)(1b22R2+...).
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R2, מקבלים כאשר רדיוס הכדור R את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: a2+b2=c2.

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: B(R,0,0) , C(Rcos(a),Rsin(a),0), A(Rcos(a)cos(b),Rsin(a)cos(b),Rsin(b)).

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: cos(c)=OAOBOAOB=cos(a)cos(b).

הצבת השוויונות: a=aR,b=bR,c=cR במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: cos(cR)=cos(aR)cos(bR).

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה γ=900.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן  a,b,c והזוויות שמולן הן  α,β,γ בהתאמה, מתקיים: asinα=bsinβ=csinγ.

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: sinaRsinα=sinbRsinβ=sincRsinγ.

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה sinα לטור מקלורן: sinα=α+....

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור R  : aR+...sinα=bR+...sinβ=cR+...sinγ.

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:asinα=bsinβ=csinγ.

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי AFOC, AEOB וגם AED=β, AFC=γ.

במשולש AED מתקיים: sinβ=ADAE ובמשולש AFD מתקיים: sinγ=ADAF ולכן sinβsinγ=AFAE.

במשולש AOE מתקיים: sinc=AER ובמשולש AOF מתקיים: sinb=AFR .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: sinβsinγ=sinbsinc, כלומר:sinβsinγ=sinbRsincR.

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן  a,b,c והזוויות שמולן הן  α,β,γ בהתאמה, מתקיים:  c2=a2+b22abcosγ

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: coscR=cosaRcosbR+sinaRsinbRcosγ.

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcoscR).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות cosα,sinα לטור מקלורן: cosα=1α22+..., sinα=α+....

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: (1c22R2+...)=(1a22R2+...)(1b22R2+...)+(abR2cosγ+...).

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2R2, מקבלים כאשר רדיוס הכדור R את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית:  c2=a2+b22abcosγ.

זהויות

מכפלת סינוס וקוסינוס sinacosβ=cosbsincsinbcosccosα
מכפלת סינוס וקוטנגנס sinαcotβ=cotbsinccosccosα
משפט הטנגסים tana+b2tanab2=tanα+β2tanαβ2
נוסחאות נפייר tana+b2cosα+β2=tanc2cosαβ2

tanα+β2cosa+b2=cotγ2cosab2

tanab2sinα+β2=tanc2sinαβ2

tanαβ2sina+b2=cotγ2sinab2

נוסחאות דלאמבר sina+b2sinγ2=cosαβ2sinc2

sinab2cosγ2=sinαβ2sinc2

חצי זווית (סימון: s=a+b+c2). sinα2=sin(sb)sin(sc)sinbsinc

cosα2=sin(s)sin(sa)sinbsinc

tanα2=sin(sb)sin(sc)sinssin(sa)

חצי צלע (סימון: σ=α+β+γ2 ). sina2=cosσcos(σα)sinβsinγ

cosa2=cos(σβ)cos(σγ)sinβsinγ

tana2=cosσcos(σα)cos(σβ)cos(σγ)

שימושים

בהלכה מובא שצריכים להתפלל שמונה עשרה לכיוון ירושלים (להבדיל, באסלאם מתפללים לכיוון מכה). בשביל לעשות זאת על המתפלל לדעת את מיקומו על פני כדור הארץ (קו אורך וקו רוחב), ואז באמצעות טריגונומטריה ספירית, לחשב את כיוון התפילה הרצוי.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

טריגונומטריה ספירית35668258Q46463