חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים

מערכת אחת בשני זמנים שונים.
חלקיקים בלתי מובחנים: בין החלקיקים הלבנים לבין עצמם לא ניתן להבדיל. למשל אם נתבונן בחלקיק העליון משמאל באיור השמאלי, לא נדע לאן פנה והיכן הוא בזמן שמוצג באיור הימני.
לעומתם, חלקיקים מובחנים הם חלקיקים שניתן להבחין ביניהם. למשל, מכיוון שיש רק חלקיק כחול אחד במערכת שבאיורים, נוכל לדעת איפה הוא בכל זמן.

כאשר דנים במערכת של N חלקיקים זהים יש להפריד לשני מקרים: חלקיקים מובחנים וחלקיקים בלתי-מובחנים.

חלקיקים בלתי-מובחנים – במכניקת הקוונטים הם חלקיקים אשר עקרונית לא ניתן להבדיל בניהם והם מוגדרים רק בסקלות קוונטיות.

חלקיקים מובחנים – חלקיקים שניתן להבדיל ביניהם ולהתחקות אחר ההתפתחות בזמן של כל אחד ואחד מהם.

חלקיקים מובחנים/בלתי מובחנים זוהי תכונה יסודית של המערכת שתקבע כיצד יש לספור מצבים מיקרוסקופים. בפיזיקה קלאסית (וכן באינטואיציה שלנו) חלקיקים תמיד מובחנים. לכן, גם אם נבחר לא להבחין ביניהם (לדוגמה: הוצאת כדורים זהים משק) הסטטיסטיקה היא של חלקיקים מובחנים כי תמיד נוכל לבחור לצבוע אותם בצבע שונה או לתייג כל אחד בתווית אחרת. בפיזיקה קוונטית, לעומת זאת, חלקיקים זהים הם בלתי מובחנים בהגדרה, כגון: חלקיקים אלמנטרים, חלקיקים תת-אטומים, אטומים ומולקולות. קיימות תכונות אינהרנטיות באמצעותן ניתן להבדיל בין חלקיקים גם בפיזיקה קוונטית והן: מסה, מטען וספין. זאת, לעומת תכונות דינמיות, כגון: מיקום, תנע ואנרגיה, שמאפשרות הבחנה בפיזיקה הקלאסית, אך לא בפיזיקה הקוונטית.

רקע פילוסופי

בתום המאה ה-17 התנהל ויכוח בין הפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ לבין סמואל קלארק (תלמידו של ניוטון). על פי התפיסה הניוטונית העולם מורכב מאינספור חלקיקים זהים בתכונותיהם הנמצאים במקומות שונים בחלל וכל חלקיק שומר על זהותו העצמית ונותר הוא עצמו במשך התהליכים בו משתתף (נציין כי הזהות העצמית היוותה מונח בסיס במכניקה קלאסית). לייבניץ, לעומת זאת, התנגד לקיומם של חלקיקים זהים ולכך טענות לוגיות הנובעות מתפיסה פילוסופית דתית. טענתו היא כי אין סיבה מספקת שהא-ל יבחר לשים אטום אחד במקום מסוים על פני האחר אם הם זהים ובעלי אותה השפעה. ולכן, לדידו לא ייתכן שהא-ל ברא שני חלקיקים זהים בדיוק, וכתוצאה מכך טען כי אטומים זהים לא קיימים. תורת הקוונטים עוקפת את טענתו של לייבניץ בדרך נאה ומחוכמת ומפרה את תכונת הזהות העצמית של חלקיקים.

תיאור במכניקת הקוונטים

חלקיקים שונים כגון פרוטון ואלקטרון ניתנים להבחנה. לכן, ניתן יהיה לכתוב עבורם מצב מקום בשלושה ממדים:$|{\overrightarrow {r_{p}}},{\overrightarrow {r_{e}}}\rangle$. אולם, עבור חלקיקים בלתי מובחנים המצב שונה כיוון שלא ניתן להבדיל בניהם. לאחר החלפתם המצב הפיזיקלי לא השתנה, כלומר נותרנו באותו מצב קוונטי עד כדי פאזה, ולכן אם נבצע מדידת מקום ונמצא כי קיים חלקיק אחד במיקום $x_{1}$ וחלקיק אחר ב- $x_{2}$,מפני שהם חילופים -לא נדע מי זה מי. קרי, לאחר המדידה ייתכן ומצב המיקום הוא:$|{x_{1}},{x_{2}}\rangle$ או $|{x_{2}},{x_{1}}\rangle$ או צירוף ליניארי (סופרפוזיציה) של המצבים הללו. עבור הסופרפוזיציה ניתן להראות כי קיימות רק שתי אפשרויות:

1. מצב סימטרי- $|{x_{1}}{x_{2}}\rangle _{s}={\frac {1}{\sqrt {2}}}[|{x_{1}}{x_{2}}\rangle +|{x_{2}}{x_{1}}\rangle ]$. במצב זה החלפת החלקיקים כלל לא משנה, ולכן:$\Psi _{+}({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}})=\Psi _{+}({\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{1}}})$.
2. מצב אנטי סימטרי- $|{x_{1}}{x_{2}}\rangle _{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}[|{x_{1}}{x_{2}}\rangle -|{x_{2}}{x_{1}}\rangle ]$. במצב זה החלפת החלקיקים הופכת את הסימן, ולכן:$\Psi _{-}({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}})=-\Psi _{-}({\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{1}}})$.

כאשר :s-סימן לסימטרי; a-סימון לאנטיסמטרי; המקדם ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ לשם נרמול המצב.

למעשה בעולם קוונטי בשלושה ממדים ניתן לסווג את החלקיקים בטבע לשני סוגים בעלי התנהגות סטטיסטית שונה (משפט ספין-סטטיסטיקה):

• בוזונים-בעלי פונקציית הגל הסימטרית (ראה מצב סימטרי), בניהם נמנים בין היתר:פוטונים, גלואונים, פונונים, הליום 4 וכל המזונות עבור חלקיקים אלו הספין מספר שלם.
• פרמיונים-בעלי פונקציית הגל האנטי-סימטרית, בניהם נמנים בין היתר: אלקטרונים, חלקיקי הנייטרינו, הליום-3, קווארקים ופרוטונים. עבור חלקיקים אלו הספין מספר חצי שלם.

נציין כי במערכת בשני ממדים קיימים גם אניונים (anyons) להם תכונות פחות מגבילות מאשר לבוזונים ולפרמיונים.

תכונות בפיזיקה הסטטיסטית

פיזיקה סטטיסטית מסתמכת על חישובי הסתברות עבורם חשוב מאוד להבחין בהאם מדובר בעצמים מובחנים או בלתי מובחנים. שמה של התפלגות הסיכויים המתאימה לחלקיקים מובחנים -התפלגות מקסוול-בולצמן. עבור בוזונים זהים הסתברות גבוהה יותר להימצא באותו מצב קוונטי מאשר לחלקיקים קלאסים, דוגמה לכך היא "עיבוי בוז-איינשטיין" ושמה של התפלגות הסיכויים המתאימה-התפלגות בוז-איינשטיין. לעומת בוזונים, פרמיונים זהים לעולם לא נמצאים באותו מצב קוונטי, עובדה זו מוכרת כעקרון האיסור של פאולי, ושמה של התפלגות הסיכויים המתאימה-התפלגות פרמי-דיראק.

מספור חלקיקים זהים

אין חשיבות למספור החלקיקים הבלתי מובחנים היות שבעת החלפת המספור פיזיקת הבעיה לא תשתנה, מיקרוסקופית- 'תמונת' המערכת תראה אותו דבר. למשל, נוכל להחליף בין שם החלקיקים 2 ו-1 (ראה/י טבלה) ומצב המערכת יוותר כפי שהוא. חשוב לשים לב שכאשר לחלקיקים בלתי מובחנים אותם המספרים הקוונטים (כמו 1 ו-3) כלומר חלקיקים שיש להם אותה פונקציית גל קוונטית/אותו מצב קוונטי- החלפת המספור שלהם חסרת משמעות.

מספר קוונטי
nx	ny	nz	שם החלקיק
19	65	1	1
2	18	5	2
19	65	1	3

לשם המחשה נעזר בפונקציית חלוקה הקנונית: $Z(\beta )=\sum _{s}\exp(-\beta \epsilon _{s})$, כאשר המערכת מצומדת לאמבט תרמי בטמפרטורה הופכית $\beta ={\tfrac {1}{k_{B}T}}$ ונמצאת במצב מיקרוסקופי s באנרגיה- $\epsilon _{s}$.

עבור חלקיקים מובחנים: כאשר האנרגיה היא סכום האנרגיות החד חלקיקיות:$Z_{tot}=(Z_{single})^{N}$ .

עבור חלקיקים בלתי מובחנים בגבול אכלוס דליל (כלומר כאשר יש מעט חלקיקים ביחס למספר רמות האנרגיה כך שהסיכוי למציאת שני חלקיקים באותה רמה נמוך):$Z_{tot}={\frac {(Z_{single})^{N}}{N!}}$.

דוגמה בה ההבחנה בין חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים חשובה היא בחישוב פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת (Z_tot) של גז אידיאלי מונואטומי בעל N חלקיקים (בקופסה). הפתרון הנכון הוא הפתרון של גיבס (ראה פרדוקס גיבס) המניח כי החלקיקים בלתי מובחנים (במצבים קוונטים שונים). הפתרון התקין לוקח בחשבון את חוסר המשמעות להחלפה בין החלקיקים ולכן מחלק את הפתרון השגוי במספר האפשריות לסידור החלקיקים-$N!$. כלומר, לא נוכל לרשום שפונקציית החלוקה הכוללת היא: $Z_{tot}=(Z_{single})^{N}$ ,

כאשר: פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק יחיד:$Z_{single}=n_{Q}V$ ;$n_{Q}=({\frac {mk_{B}T}{2\Pi \hslash ^{2}}})^{\frac {3}{4}}$,$k_{B}$-קבוע בולצמן;T-טמפרטורת הגז (המערכת מחוברת לאמבט חום); V-נפח המערכת ; m-מסת החלקיק; $\hslash ^{2}$-קבוע פלאנק המצומצם.

אלא: $Z_{tot}={\frac {(Z_{single})^{N}}{N!}}$.

כאשר קיימים חלקיקים שבנוסף הם בעלי אותו מצב קוונטי צריך לכפול את פונקציית החלוקה הקנונית פי מספר הפרמוטציות,p, בין החלקיקים אשר באותו מצב מצב קוונטי, כלומר:$Z_{tot}={\frac {(Z_{single})^{N}}{\frac {N!}{p}}}$.

ראו גם

• עקרון האיסור של פאולי
• סימון דיראק
• פיזיקה סטטיסטית
• פרמיון
• בוזון
• פרדוקס גיבס
• אינטראקציית שחלוף
• התפלגות פרמי-דיראק
• משפט ספין-סטטיסטיקה

לקריאה נוספת

• יואב בן-דב, תורת הקוונטים – מציאות ומסתורין, תל אביב: דביר, הוצאה לאור בע"מ, 1997.
• .J.Griffiths, Introduction To Quantum Mechanics, United Kingdom: Cambridge Universiversity Press,Third edition, 2018

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31913833חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים