חוק החלוקה השווה

בפיזיקה סטטיסטית, חוק החלוקה השווה (equipartition theorem) הוא חוק פיזיקלי האומר כי האנרגיה הפנימית במערכת מתחלקת באופן שווה בין כל דרגות החופש הריבועיות של ההמילטוניאן.

האנרגיה הממוצעת לכל דרגת חופש:

\langle U\rangle ={\frac {1}{2}}K_{B}T

כאשר T הטמפרטורה של המערכת ו- $\ K_{B}$ קבוע בולצמן.

דרגת חופש ריבועית היא דרגה שבה האנרגיה תלויה בגודל המשתנה בריבוע (לדוגמה, אנרגיה פוטנציאלית של קפיץ, אנרגיה קינטית של גוף התלויה במהירות שלו באחד הצירים).

תרמודינמיקה

חלקיקים בסריג רוטטים בפלקטואציות תרמיות סביב מקום שיווי המשקל שלהם.

בתרמודינמיקה, האנרגיה הפנימית במערכת מקיימת את חוק החלוקה השווה. קיימים 3 סוגי אנרגיה כאלו:

אנרגיית תנועה קווית - $E={\frac {1}{2}}mv^{2}$
אנרגיית רוטציה - $E={\frac {1}{2}}Iw^{2}$
אנרגיית ויברציה - $E={\frac {1}{2}}kx^{2}$

דוגמה:
אם נסתכל על גז אידיאלי מונו-אטומי במרחב תלת ממדי, לכל אטום יש 3 דרגות חופש (3 כיווני תנועה). מחוק החלוקה השווה ניתן לדעת כי האנרגיה הממוצעת לאטום תהיה: $\langle U\rangle =3\cdot {\frac {1}{2}}K_{B}T$
לעומת זאת, כאשר מדובר בגז אידיאלי דו-אטומי במרחב תלת-ממדי, לכל אטום יש 5 דרגות חופש (3 כיווני תנועה + רוטציה + ויברציה). מחוק החלוקה השווה נקבל:
$\langle U\rangle =5\cdot {\frac {1}{2}}K_{B}T$

חוק החלוקה השווה מעניק מבט עמוק יותר על מונח דרגות החופש, ומראה כי מובנן אינו טריוויאלי. לדוגמה, ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד ממדי הוא ${\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ ולכן חוק החלוקה השווה קובע כי האנרגיה החופשית שלו היא $\langle U\rangle ={\frac {1}{2}}K_{B}T$ , שכן יש לו רק דרגת חופש ריבועית אחת. לעומת זאת, חלקיק כלוא בפוטנציאל הרמוני חד ממדי מיוצג על ידי ההמילטוניאן ${\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}$ כאשר k הוא קבוע הקפיץ של הפוטנציאל ההרמוני וx הוא הסטייה משיווי משקל. לחלקיק כלוא זה יש שתי דרגות חופש ריבועיות ולכן האנרגיה החופשית שלו לפי משפט החלוקה השווה היא $\langle U\rangle =2\cdot {\frac {1}{2}}K_{B}T=K_{B}T$ . לכן, אף על פי שהחלקיק כלוא בפוטנציאל, האנרגיה החופשית שלו גדולה יותר משל חלקיק חופשי.