חלקיק חופשי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בפיזיקה חלקיק חופשי הוא חלקיק הנע באופן חופשי ללא השפעת שום כוח (לא נע תחת שום השפעה של פוטנציאל חיצוני).

בעיית החלקיק החופשי היא אחת הבעיות הפיזיקליות הפשוטות ביותר וניתנת לפתרון באופן מדויק במסגרות תאורטיות שונות (מכניקה קלאסית, מכניקה קוונטית ועוד). הבעיה משמשת כדוגמה ראשונית בלימוד התאוריות הנ"ל ובסיס לפתרון בעיות מסובכות יותר.

במכניקה קלאסית

עבור חלקיק הנע במימד אחד, הצבת F=0 בחוק השני של ניוטון, נותנת:

 mx¨=0.

פתרון המשוואה על ידי אינטגרציה נותן את משוואת התנועה של חלקיק חופשי במימד אחד:

 x(t)=x0+v0t

כאשר  x0,v0 הם קבועים שנקבעים לפי תנאי ההתחלה.

ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה משוואת התנועה תהיה:

 x(t)=x0+v0t

מן הפתרונות ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה בקו ישר.

במכניקה אנליטית

הלגרנז'יאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:

 L=12mx˙2

עבור חלקיק רב-ממדי, x יהיה וקטור d-ממדי, ואז:

 L=12m(dxdt)2

מביטויים אלו ניתן לקבל את משוואת התנועה של חלקיק חופשי באמצעות משוואות אוילר-לגראנז'.

ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא:

 H=p22m

כאשר p הוא התנע של החלקיק.

במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים החלקיק החופשי מתואר על ידי פונקציית גל שפותרת את משוואת שרדינגר

 iψ(x)t=Hψ(x)

כאשר

 H=p22m=2k22m=22m2

הוא ההמילטוניאן של חלקיק חופשי.

הפונקציות העצמיות הן גלים מישוריים

 ψ(x)=1Veipx/=1Veikx

ומתאימים למצב בו לחלקיק יש תנע מוגדר. האנרגיות שלהם הן

 ω=Ek=p22m=2k22m

הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים:

ψ(x,t)=ϕ(k)ei(kxωt)dk

אינטגרל מסלול של חלקיק חופשי הוא:

 ψx0(xf,t)=G(xf,t;x0,0)=m2πitexp(im2t(xfx0)2)

בתורת שדות

ראו גם

חלקיק_חופשי20505511Q1454200