חוג מטריצות

חוג המטריצות מעל חוג R הוא חוג שאבריו הם המטריצות מסדר $\ n\times n$ שרכיביהן שייכים לחוג R. במקרה זה, R נקרא חוג המקדמים של חוג המטריצות, שאותו מקובל לסמן ב-$\ \operatorname {M} _{n}(R)$. זוהי הדוגמה הקלאסית לחוג לא חילופי, וחוגים אי חילופיים רבים קשורים לחוגי מטריצות, להם תפקיד מרכזי באלגברה לא קומוטטיבית.

בניית חוגי מטריצות היא אחת הבניות הבסיסיות בתורת החוגים. הקשר בין חוג המטריצות לחוג המקדמים הדוק למדי, ותוספת המטריצות, בעלות המבנה הקבוע, מעשירה את מגוון האפשרויות לטפל בחוג המקורי.

כאשר $R$ הוא שדה, חוגי המטריצות מעליו נחקרים היטב באלגברה לינארית. לחוג כללי, המבנה הרבה יותר עשיר.

תכונות

המרכז של חוג מטריצות שווה לאוסף המטריצות הסקלריות מהצורה $\ cI$ כאשר c שייך למרכז של חוג המקדמים, כלומר $Z(M_{n}(R))\cong Z(R)$. החבורה הלינארית הפרויקטיבית מוגדרת להיות המנה של חוג מטריצות (ובאופן כללי יותר, חוג אנדומורפיזמים) מעל המרכז שלה, ולה יש חשיבות רבה בגאומטריה אלגברית.

חוג המטריצות (מסדר $n>1$) תמיד בעל מחלקי אפס.

יש התאמה מלאה בין האידאלים של חוג המקדמים לבין האידאלים של חוג המטריצות: כל אידאל של חוג המטריצות הוא מהצורה $\ M_{n}(A)$ כאשר A אידאל בחוג המקדמים, וחוג המנה ביחס לאידאל זה הוא $M_{n}(R)/M_{n}(A)\cong M_{n}(R/A)$. ביתר כלליות, חוג מטריצות תמיד שקול מוריטה לחוג המקדמים.

חוג המטריצות מסדר $n\times n$ איזומורפי לחוג האנדומורפיזמים של המודול החופשי $R^{n}$. באופן כללי יותר, מתקיים $\operatorname {End} (M^{n})\cong M_{n}(\operatorname {End} (M)))$ לכל מודול שמאלי מעל החוג.

יחידות מטריצות

לעיתים דרושות דרכים להוכיח שחוג מסוים הוא חוג מטריצות.

בכל חוג מטריצות יש יחידות מטריצות $\ e_{ij}$ ($\ i,j=1,\dots ,n$), המקיימות את שתי התכונות הבאות:

• $\ e_{ij}e_{k\ell }=\delta _{jk}e_{i\ell }$,
• $\ e_{11}+\cdots +e_{nn}=I$, כאשר I הוא איבר היחידה של חוג המטריצות.

יחידות המטריצות מתחלפות עם אברי חוג המקדמים. כיוון שאפשר להציג כל איבר בחוג המטריצות (באופן יחיד) כסכום $\ \sum a_{ij}e_{ij}$, עם $\ a_{ij}\in R$, נוסחאות אלה מגדירות את חוג המטריצות.

למעשה, כל חוג $T$ שיש בו מערכת של יחידות מטריצות $\{\epsilon _{ij}\}_{i,j=1}^{n}$, איזומורפי לחוג מטריצות מעל תת-החוג (בלי יחידה) $R=\epsilon _{11}T\epsilon _{11}$. האיזומורפיזם הוא $t\mapsto \sum _{i=1}^{n}{(\epsilon _{1i}t\epsilon _{j1})e_{ij}}$.

מבנה

חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק הוא גם פשוט ארטיני, ומשפט ודרברן-ארטין קובע את ההפך - כל חוג פשוט ארטיני איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק.

בפרט, אם F שדה סגור אלגברית, כל אלגברה פשוטה מממד סופי מעל F היא אלגברת מטריצות, משום שאין אלגברה עם חילוק מעל שדה סגור אלגברית.

חוג $R$ הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל חוגי המטריצות מעליו פשוטים למחצה. מפורשות, תת-מודול פשוט (כלומר אידאל שמאלי מינימלי) של $M_{n}(R)$ הוא קבוצת מטריצות עם איברים לא אפס רק בעמודה מסוימת, שבה האיברים נלקחים מתת-מודול פשוט של $R$.

רדיקל ג'ייקובסון של מטריצות שווה למטריצות מעל הרדיקל: $\operatorname {Jac} (M_{n}(R))=M_{n}(\operatorname {Jac} (R))$, ובפרט חוג הוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם על חוג מטריצות מעליו פרימיטיבי למחצה.

ראו גם

• חוג האנדומורפיזמים
• שקילות מוריטה