חוג בעל מספר בסיס קבוע

בתורת החוגים, אומרים שחוג הוא בעל מספר בסיס קבוע, ובקיצור נאמר שהחוג מקיים IBN (מאנגלית: Invariant basis number) אם הממד של המודולים החופשיים מעליו מוגדר היטב. משפחות מוכרות ורחבות של חוגים מקיימות IBN.

הגדרה

יהי $R$ חוג נתון. אז לכל מספר טבעי $n\in \mathbb {N}$ , המבנה $R^{n}$ הוא מודול שמאלי מעל $R$ . אומרים ש- $R$ מקיים IBN אם לכל $m,n\in \mathbb {N}$ כך שמתקיים $R^{m}\cong R^{n}$ (בתור מודולים שמאליים), מתקיים $m=n$ - כלומר כאשר הממד של כל מודול חופשי נוצר סופית מעל החוג קבוע על מחלקות איזומורפיזמים.

הגדרה שקולה, בשפה של מטריצות - $R$ מקיים IBN אם ורק אם לכל $m,n\in \mathbb {N}$ ולכל שתי מטריצות $A\in M_{m,n}(R),B\in M_{m,n}(R)$ המקיימות $AB=I_{n},BA=I_{m}$ , מתקיים $m=n$ . בפרט, היות שהגדרה זו לא תלויה במודול שמאלי או ימני, אפשר להחליף בהגדרה לעיל "שמאלי" ב"ימני".

תכונות

ראשית, כל שדה מקיים IBN - זוהי למעשה הטענה מאלגברה ליניארית על (קיום ו)יחידות מרחב וקטורי מכל ממד טבעי.

אם חוג $R$ אינו מקיים IBN, אז גם כל מנה אמיתית שלו (ולכן גם כל תמונה הומומורפית לא אפס שלו): שכן אם $R^{n}{\overset {f}{\cong }}R^{m}$ עבור $m\neq n$ , אז לוקחים בסיס סטנדרטי $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ של $R^{n}$ , ומכך שמתקיים $\forall i_{j}\in I:f(\sum {i_{j}e_{j}})=\sum {i_{j}f(e_{j})}\in I^{m}$ (כי $I$ אידיאל), מושרה איזומורפיזם ${\bar {f}}:(R/I)^{n}\to (R/I)^{m}$ , ו- $m\neq n$ .

לכן, אם לחוג יש מנה המקיימת IBN, אז גם החוג מקיים את התנאי. כמסקנה מכך, כל חוג קומוטטיבי מקיים IBN - שכן (לפי הלמה של צורן) יש לו אידיאל מקסימלי והמנה היא שדה, שכאמור מקיים IBN.

כל חוג נתרי, חוג ארטיני, חוג עם חילוק, חוג עם זהויות וחוג מקומי למחצה מקיים את IBN.

כל חוג סופי באופן חלש (weakly finite) (כלומר חוג שבו לכל שתי מטריצות ריבועיות $AB=I$ גורר $BA=I$ ) מקיים IBN. זהו תנאי מעט חזק יותר מהתנאי לעיל.

אם חוג מקיים IBN, גם כל חוג מטריצות מעליו מקיים IBN, אבל התכונה אינה נשמרת על ידי שקילות מוריטה.

חוג שלא מקיים IBN

לא כל חוג מקיים את התנאי -- למשל חוג האנדומורפיזמים $R=\operatorname {End} (V)$ של מרחב וקטורי מממד בן מנייה $V$ איננו מקיים את התנאי: מתקיים $R\cong R^{2}$ , שכן אפשר ליצור בעזרת $\aleph _{0}$ וקטורי הבסיס של $V$ את $2*\aleph _{0}=\aleph _{0}$ וקטורי הבסיס של $V\oplus V$ . למעשה מתקיים $R^{n}\cong R^{m}$ לכל שני טבעיים.