חבורת קווטרניונים מוכללת

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, חבורת קווטרניונים מוכללת היא חבורה שיש לה הצגה מהצורה  x,y|xn=y2,yxy1=x1 לשלם n כלשהו. זוהי חבורה מסדר  4n, שמקובל לסמן ב- Q4n. חבורת הקווטרניונים הסטנדרטית היא החבורה  Q8, המתאימה למקרה n=2.

אפשר להציג חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל  2×2 מעל  , כחבורה הנוצרת על ידי  x=(ρn00ρn1),y=(0110), כאשר  ρn הוא שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר n. חבורה זו מוכלת באלגברת הקווטרניונים של המילטון, שם היא נוצרת על ידי  x=e2πi/n ו-  y=j.

כל תת-חבורה אבלית של  Qn היא ציקלית. כל חבורת-p סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת. כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות היא או אבלית, או מכפלה ישרה של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).

חבורת 2-סילו של חבורת המטריצות  SL2(F) מעל שדה סופי F מסדר אי זוגי, היא חבורת קווטרניונים מוכללת.

מקורות

Group Theory, Scott.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורת קווטרניונים מוכללת32205753