חבורת וייטהד המצומצמת

חבורת וייטהד המצומצמת של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים ${\mathrm{SK}}_1(A)$, המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים. אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית. זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד ${\mathrm{K}}_1(A)$ המוגדרת עבור כל חוג A. החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד.

חוגים קומוטטיביים

יהי A חוג קומוטטיבי. נסמן ב-$\mathrm{GL}(A)$ את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים). הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת $1\to \mathrm{SL}(A)\to \mathrm{GL}(A)\to A^{*}\to 1$. חלוקה בחבורת הקומוטטורים $[\mathrm{GL}(A),\mathrm{GL}(A)]$ מגדירה את הסדרה $1\to {\mathrm{SK}}_1(A)\to {\mathrm{K}}_1(A)\to A^{*}\to 1$, כאשר ${\mathrm{K}}_1(A)=\mathrm{GL}(A)/[\mathrm{GL}(A),\mathrm{GL}(A)]$, ו-${\mathrm{SK}}_1(A)$ הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A. הסדרה הזו מפוצלת: ${\mathrm{K}}_1(A)=A^{*}\oplus {\mathrm{SK}}_1(A)$.

אלגברות פשוטות מרכזיות

תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו. אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי. באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית $N:A^{\times }\to F^{\times }$ (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה. את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב-${\mathrm{SL}}_1(A)$. תת-חבורת הקומוטטורים $A^{\prime }$ של $A^{\times }$ מוכלת ב-${\mathrm{SL}}_1(A)$, וחבורת המנה ${\mathrm{SL}}_1(A)/A^{\prime }$ היא חבורת וייטהד המצומצמת של A; מסמנים אותה ב-${\mathrm{SK}}_1(A)$.

השערת Tannaka-Artin (שהיא השערת Kneser-Tits לחבורות אלגבריות מטיפוס $A_n$) סברה ש-${\mathrm{SK}}_1(A)=1$ פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3). השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975).

תוצאות כלליות

החבורה ${\mathrm{SK}}_1$ טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל). החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה). האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה. והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות. מסיבות אלה מספיק להבין את ${\mathrm{SK}}_1(A)$ כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני. החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950).

תלות בתכונות של שדה הבסיס

${\mathrm{SK}}_1$ טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים. יינצב'סקי הראה ש-${\mathrm{SK}}_1(A)=1$ אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה $C_2^0$ (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה $C_2$ הוא גם $C_2^0$, אבל לא להפך). מהתכונה $C_2^0$ נובע ש-$\mathrm{cd}(F)\le 2$ כאשר $\mathrm{cd}(F)$ הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985).

תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p. אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז ${\mathrm{SK}}_1(A)=1$.

אם $\mathrm{cd}(F)\le 3$ אז ${\mathrm{SK}}_1(Q\otimes Q^{\prime })=1$ לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q. השערת סוסלין היא שזה נכון לכל אלגברה.

מקורות

• Nicolas Grenier-Boley, On the triviality of certain Whitehead groups, Mat Proc Roy Irish Acad 107(2):183--193, (2007).

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורת וייטהד המצומצמת35942441