חבורת הייזנברג

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל $3\times 3$, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרה

יהי $R$ חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג $R$ היא החבורה המכילה את המטריצות

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

כאשר $a,b,c\in R$. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה.

המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל:

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& a^{\prime }& c^{\prime }\\ 0& 1& b^{\prime }\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& a+a^{\prime }& c+c^{\prime }+a{b}^{\prime }\\ 0& 1& b+b^{\prime }\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים $a,b,c\in R$ יהיו הפיכים בעצמם):

${\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -a& ab-c\\ 0& 1& -b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

דוגמאות

חבורת הייזנברג הממשית

כאשר לוקחים את החוג $R$ להיות שדה המספרים הממשיים $\mathbb{ℝ}$, מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

חבורת הייזנברג הבדידה

כאשר בוחרים את החוג $R$ להיות חוג המספרים השלמים $\mathbb{\mathbb{Z}}$, מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית, אשר נוצרת על ידי שני האיברים:

$x=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right),y=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

אם מסמנים $z=[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$, לחבורה מתקבלים היחסים הבאים:

$z_{}^{}=[x,y],[x,z]=e,[y,z]=e$.

במקרה זה, האיבר $z$ יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& c\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)=y^b{z}^c{x}^a$.

מעל שדה סופי

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ היא מסדר $p^3$ ומאקספוננט $p$. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

$z=[x,y],x^p=y^p=z^p=1,[x,z]=e,[y,z]=e$

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות - חבורת-p בה המרכז $C$ איזומורפי ל-${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ וחבורת המנה $G/C$ היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר $p$.

במקרה של $p=2$, מתקבלת החבורה הדיהדרלית $D_4$.

אלגברת לי המתאימה

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

$\left(\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right)$,

עם הבסיס הבא:

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right);Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right);Z=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ \end{array}\right)$

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

$[X,Y]=Z;[X,Z]=0;[Y,Z]=0$

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] חבורת הייזנברג28201536