חבורת הייזנברג

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל 3×3, עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרה

יהי R חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג R היא החבורה המכילה את המטריצות

(1ac01b001)

כאשר a,b,cR. הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה.

המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל:

(1ac01b001)(1ac01b001)=(1a+ac+c+ab01b+b001)

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים a,b,cR יהיו הפיכים בעצמם):

(1ac01b001)1=(1aabc01b001)

דוגמאות

חבורת הייזנברג הממשית

כאשר לוקחים את החוג R להיות שדה המספרים הממשיים , מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

חבורת הייזנברג הבדידה

כאשר בוחרים את החוג R להיות חוג המספרים השלמים , מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית, אשר נוצרת על ידי שני האיברים:

x=(110010001),  y=(100011001)

אם מסמנים z=[x,y]=xyx1y1, לחבורה מתקבלים היחסים הבאים:

z=[x,y], [x,z]=e, [y,z]=e.

במקרה זה, האיבר z יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה

(1ac01b001)=ybzcxa.

מעל שדה סופי

חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי p היא מסדר p3 ומאקספוננט p. ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

z=[x,y], xp=yp=zp=1, [x,z]=e, [y,z]=e

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות(אנ') - חבורת-p בה המרכז C איזומורפי ל-p וחבורת המנה G/C היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר p.

במקרה של p=2, מתקבלת החבורה הדיהדרלית D4.

אלגברת לי המתאימה

לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

(0ab00c000),

עם הבסיס הבא:

X=(010000000);Y=(000001000);Z=(001000000)

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

[X,Y]=Z;[X,Z]=0;[Y,Z]=0

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0


שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה

שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ]
חבורת הייזנברג28201536