זרימת דה לאוואל

גוסטף דה לאוואל

במכניקת הזורמים, זרימת דה לאוואל היא זרימה של גזים דרך נחיר מתכנס־מתבדר (convergent-divergent nozzle), כלומר נחיר בעל שטח חתך ההולך וקטן עד לנקודה מינימלית הנקראת צוואר הנחיר (Throat) ומתרחב ממנה והלאה. צורת זרימה זו נקראת על שם המהנדס השוודי גוסטף דה לאוואל אשר עסק בפיתוח טורבינות קיטור והיא נפוצה בעיקר כיישום ליצירת דחף בהנעה רקטית והנעה סילונית. בזרימה מסוג זה, כאשר הזורם הוא גז, הזורם מאיץ כאשר הוא עובר באזור המתכנס עד אשר הוא מגיע למהירות הקול (מאך 1) בצוואר הנחיר, ולחצו קטן. לאחר מכן, עקב מעבר מהירות הקול והיווצרות זרימה חנוקה, הוא ממשיך להאיץ גם באזור שבו שטח החתך הולך וגדל ולחצו ממשיך לקטון. התנהגות זו היא הפוכה בזורם בלתי דחיס (נוזל) אשר מאט עם הגדלת שטח החתך.

סימונים והגדרות

המשוואות והפיתוחים הקשורים בזרימת דה לאוואל עושים שימוש במספר גדלים פיזיקליים מתחומי תורת הזרימה ותורת מעבר החום:

$T$	–   טמפרטורה (K)
$\rho$	–   צפיפות הגז (Kg/m³)
$R$	–   קבוע הגזים האוניברסלי – 8314.5 (J/(kmol·K
$p$	–   לחץ הגז (Pa)
$M_{w}$	–   המסה המולקולרית של הגז (kg/kmol)
$c_{p}$	–   קיבול חום (החום הסגולי) של הגז בלחץ קבוע (J/K)
$c_{v}$	–   קיבול חום של הגז בנפח קבוע (J/K)
$\gamma$	–   ${\frac {c_{p}}{c_{v}}}$ – יחס החומים הסגוליים של הזורם
$a$	– מהירות הקול באוויר – ${\sqrt {\gamma RT}}$
$M$	–   מספר המאך של הזרימה – ${\frac {u}{a}}$
$A$	–   שטח החתך המקומי של הנחיר (m²)

המשוואות השולטות

לצורך פישוט החישובים, נהוג לבצע מספר הנחות והפשטות:

• הזרימה מתרחשת במצב מתמיד, כלומר כל החישובים אינם תלויים בזמן.
• הזרימה היא אדיאבטית וחסרת חיכוך, לכן מתקיים שימור אנרגיה עבור המערכת הנבחנת, ובפרט עבור הזורם. תוצאה נוספת של תנאי היא שהזרימה היא איזנטרופית.
• הזרימה היא, בקירוב, קוואזי־חד־ממדית. משמעות הנחה זו היא שמאפייני הזרימה תלויים רק בחתך הנבחן לאורך צירו של הנחיר, ולא במיקום הנבחן בחתך עצמו.
• הזרימה מקיימת את משוואת הרציפות עבור זורם, ועל כן הספיקה המסית העוברת בכל חתך היא זהה.
• הזורם חסר צמיגות.
• הזורם דחיס, כלומר צפיפותו משתנה כתלות במצבו.
• הזורם מתנהג כגז אידיאלי, כלומר מקיים את המשוואה :$P=\rho RT$.
• הזורם פועל תחת כבידה חיצונית זניחה. הנחה זו היא סבירה עקב צפיפותם הנמוכה של הגזים.
• הזרימה קפואה- כלומר לא מתרחשות ריאקציות כימיות נוספות בזמן המעבר דרך הנחיר (הנחה זו רלוונטית במיוחד עבור נחירים הנמצאים בסמיכות לתא בעירה).

המשוואות המשמשות לתיאור זרימה בנחיר מתכנס־מתבדר לקוחות מתורת הזרימה הדחיסה, אשר נועדה לתאר התנהגות של זורמים (בעיקר גזים) בעלי צפיפות משתנה, באופן ספציפי המשוואות מתארות זרימה בתעלה בעל חתך משתנה.

משוואת הרציפות (שימור ספיקה מסית)

מאחר שמתאפשר מעבר חומר רק דרך חתך הכניסה והיציאה שלו הספיקה המסית חייבת להיות זהה עבור כל חתך וחתך (כמות החומר הנכנסת בזמן נתון חייבת להיות שווה לכמות היוצאת באותו פרק זמן).

לכן ניתן לכתוב: ${\dot {m}}\ =\rho \cdot v\cdot A=const$ כאשר שטח החתך, מהירות הזרימה והצפיפות יכולים להשתנות, אך מכפלתם נשארת קבועה.

-משוואת ברנולי מהירות הזרימה של הגז בחתך היציאה מהנחיר

משוואת שימור התנע

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dx}=-\frac{M^2}{u}\frac{du}{dx}}

ממשוואת שימור התנע ושימור הספיקה המסית מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית עבור מהירות הזרימה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{-u}{A(1-M^2)}\frac{dA}{dx}}

משוואת האנרגיה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_p(T-T_0)-\frac{v^2}{2}=0}

ניתן לנסח משוואה זו גם במונחים של אנתלפיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_0=h+\frac{1}{2}v^2}

יישום המשוואות עבור נחיר מתכנס־מתבדר

אחד השימושים הנפוצים עבור נחירים, ונחיר מתכנס־מתבדר בפרט, הוא כיציאה מתא בעירה של מנוע רקטי. נחירים אלה הם בדרך כלל בעלי צורה קונית או פעמונית. במצב זה ניתן להניח כי מהירות הגז בכניסה לנחיר היא נמוכה מאוד, ולמעשה תכונות הגז קרובות לתכונות מצב הקיפאון שלו, אשר יסומן ב־0. ממשוואות שימור המסה, התנע והאנרגיה ניתן לקבל קשרים עבור הלחץ, הטמפרטורה והצפיפות בכל חתך בנחיר, כתלות במספר המאך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{P}{P_0}= \bigg( 1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\bigg)^\frac{\gamma}{1-\gamma}}

השתנות המהירות, הלחץ והטמפרטורה לאורך נחיר מתכנס־מתבדר אופייני

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{T}{T_0}= \frac{1}{1+\frac{\gamma-1}{2}M^2}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\rho}{\rho_0}= \bigg( 1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\bigg)^\frac{1}{1-\gamma}}

יתרונם של הקשרים הנ"ל הוא בכך שהם תלויים בפרמטר יחיד - מספר המאך. לכן נוח לרכז את היחסים המתקבלים בטבלאות מוכנות מראש עבור גזים נפוצים. בנוסף, על ידי הצבת M=1 במשוואות אלו ניתן לקבל את ערכי הגדלים בצוואר הנחיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho^*, P^*, T^*,a^*} .

בעזרת משוואת שימרו הספיקה ניתן לקבל קשר בין מספר המאך בחתך כללי A לבין שטח צוואר הנחיר:

${\frac {A}{A*}}={\frac {1}{M}}{\bigg [}{\bigg (}{\frac {2}{\gamma +1}}{\bigg )}{\bigg (}1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}{\bigg )}{\bigg ]}^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}$

בעזרת משוואת ברנולי ניתן לקבל ביטוי עבור מהירות הזרימה של הגז בחתך כללי בנחיר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v= \sqrt{\;\frac{T\;R}{M}\cdot\frac{2\;\gamma}{\gamma-1}\cdot\bigg[ 1-\bigg(\frac{p}{p_0}\bigg)^{(\frac{\gamma-1)}{\gamma}}\bigg]} }

בפרט, ניתן לקבל את מהירות היציאה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_e} על ידי הצבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p=p_e } . משמעות חשובה של קשר זה היא שמהירות הזרימה ביציאה תהיה מקסימלית כאשר הלחץ החיצוני הוא 0 (בריק החלל): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_emax= \sqrt{\;\frac{T\;R}{M}\cdot\frac{2\;\gamma}{\gamma-1}} }

על ידי בניית נפח בקרה העוטף את הנחיר ניתן לקבל את משוואת הדחף הנוצר כתוצאה משטף התנע אל מחוץ למערכת בנוסף ללחץ על פנים הנחיר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=\,\dot{m}\,v_e + (p_e - p_o)\,A_e=\,\dot{m}\,\bigg[v_e + \bigg(\frac{p_e - p_o}{\dot{m}}\bigg)A_e\bigg]}

משוואה זו היא קירוב בלבד עבור נחירים בעלי זוויות התפשטות קטנות. למעשה יש צורך לכפול את הדחף המתקבל ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle cos(\theta)} .

סוגי נחירים

ניתן לחלק את סוגי הנחירים לשלושה סוגים בהתאם לנקודת הפעולה בפועל:

מלמעלה למטה: תיאור אופייני של סילון הגז בנחיר בתת־התפשטות, מתואם ובהתפשטות־יתר

• נחיר מתואם - במצב זה לחץ היציאה מהנחיר שווה ללחץ הסביבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_0=P_e} . במצב זה הדחף המתקבל מהנחיר הוא מקסימלי- ניתן לקבל זאת ישירות ממשוואת הדחף.

• נחיר בתת־התפשטות (Underexpanded Nozzle) - במצב זה שטח החתך ביציאה מהנחיר אינו גדול דיו להשגת מצב מתואם והלחץ גבוה מלחץ הסביבה.

• נחיר בהתפשטות־יתר (Overexpanded Nozzle) - במצב זה שטח החתך ביציאה מהנחיר גדול מהנדרש כך שלחץ היציאה קטן מלחץ הסביבה. במצב זה עלול להתרחש ניתוק והיווצרות גלי הלם משופעים. קריטריון אמפירי נפוץ למצב זה הוא קריטריון ניתוק הזרימה של Summerfield, לפיו ניתוק יתרחש בנקודה בנחיר שבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=0.4P_a} .

מכיוון שלחץ הסביבה הולך וקטן עם העלייה בגובה, מנוע שנחירו במצב תת־התפשטות בגובה פני הים יכול להפוך למתואם עם העלייה בגובה, ולאחר עלייה נוספת להפוך לנחיר בהתפשטות יתר, ללא כל שינוי בזרימה המתרחשת בנחיר.

גדלים נפוצים נוספים

יחס התפשטות (ε)

מכיוון שמאפייני הזרימה תלויים במספר המאך בלבד שבעצמו תלוי רק ביחס בין שטח החתך המקומי לשטח צוואר הנחיר, נהוג סימון נפוץ ליחס השטחים: $\epsilon ={\frac {A_{e}}{A_{t}}}$.

מתקף סגולי (ISP)

נוח לבחון את יעילות הנחיר בעזרת היחס בין הדחף הנוצר לבין השימוש בדלק ליחידת זמן - גודל זה נקרא המתקף הסגולי של המנוע (בשניות): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ISP=\frac{F}{\dot{m}g_0}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_0} הוא קבועה התאוצה על כדור הארץ והוא משמש לנרמול יחידות בלבד.

במקרה של נחיר מתואם (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_e=p_0} ) התקף הסגולי הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ISP=\frac{v_e}{g_0}}

מקדם הדחף (C_F)

זהו פרמטר נוסף המאפשר להשוואות בין נקודות תכן שונות של הנחיר בצורה אל־ממדית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_F=\frac{F}{A_tP_0}}

לקריאה נוספת

• Sutton, George P. (2001). Rocket Propulsion Elements: An Introduction to the Engineering of Rockets (7th Edition ed.). Wiley-Interscience. מסת"ב 0-471-32642-9
• Anderson, John D. Fundamentals Of Aerodynamics (5th Edition).McGraw-Hill. מסת"ב 978-007-128908-5
• Anderson, John D. Modern Compressible Flow (3rdEdition).McGraw-Hill. מסת"ב 0-07-242443-5

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא זרימת דה לאוואל בוויקישיתוף

• הערך על זרימת דה לאוואל באתר ויקיפדיה באנגלית
• הסבר באנגלית על יחס החומים הסגוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22378690זרימת דה לאוואל