זרימה פוטנציאלית דו-ממדית

במכניקת הזורמים, זרימה פוטנציאלית דו-ממדית היא זרימה דו-ממדית אידיאלית בלתי דחיסה ולא רוטציונית. זרימה זו ניתנת לתיאור באמצעות פונקציית פוטנציאל סקלרית $\varphi$, וכן באמצעות פונקציית זרם סקלרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} .

בזרימה פוטנציאלית דו-ממדית פונקציית הזרם ופונקציית הפוטנציאל מקיימות את משוואת לפלס, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2\varphi=\nabla^2\psi=0} .

אפשר לנתח זרימה פוטנציאלית דו-ממדית בפשטות על ידי שימוש בהעתקה קונפורמית למישור המרוכב. באמצעות ניתוח זה, הזרימה מתוארת על ידי פונקציה מרוכבת הולומורפית (או מרומורפית) הנקראת פונקציית הפוטנציאל המורכבת ומקיימתהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi+i\psi=\omega=f(z)=f(x+iy)} .

תכונות

כל זרימה לא רוטציונית במרחב פשוט קשר יכולה להיות מתוארת על ידי פוטנציאל סקלרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} כאשר מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u}= \nabla\varphi} . כל זרימה המתוארת על ידי פוטנציאל סקלרי היא זרימה לא רוטציונית מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla \times \mathbf{u}=\nabla\times(\nabla\varphi)=0} . באופן דומה, כל זרימה דו ממדית בלתי דחיסה יכולה להיות מתוארת על ידי פונקציית זרם סקלרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} כאשר מתקיים $\mathbf {u} =\nabla \times (\psi {\hat {\mathbf {k} }})$, וכל זרימה הניתנת להצגה כזו תהיה בלתי דחיסה מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{u}=\nabla\cdot(\nabla\times(\psi\hat{\mathbf{k}}))=0} . זרימה המקיימת את שתי התכונות האלו נקראת זרימה פוטנציאלית דו ממדית. במקרה כזה מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2\varphi= \nabla\cdot\mathbf{u}=0 ; -\nabla^2 \psi\ \hat{ \mathbf{k}}=- \nabla^2(\psi\hat{ \mathbf{k}}) =\nabla\times(\nabla\times(\psi\hat{\mathbf{k}}))-\nabla(\nabla\cdot(\psi\hat{\mathbf{k}}))=\nabla\times\mathbf{u}=0 \implies \nabla^2\psi=0 }

כלומר הפוטנציאל ופונקציית הזרם מקיימות את משוואת לפלס.

קווי זרם הם קווים המקבילים לזרימה בכל נקודה בזרימה, כלומר קו זרם מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\vec{x}}{ds}\times \mathbf{u}(\vec{x})=0} באמצעות תכונת פונקציית הזרם נקבל שהשינוי בפונקציית הזרם לאורך קו הזרם מקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\psi}{ds} =\frac{d\psi}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{d\psi}{dy}\frac{dy}{ds}=-\frac{dx}{ds}u_y+\frac{dy}{ds}u_x=-\left(\frac{d\vec{x}}{ds}\times\mathbf{u}\right)\cdot\hat{\mathbf{k}}=0}

ולכן קווים שעליהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = \mathrm{const}} הם קווי זרם. קווים שעליהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = \mathrm{const}} נקראים קווים שווי-פוטנציאל.

קווים שווי-פוטנציאל וקווי זרם ניצבים זה לזה מכיוון ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla\varphi\cdot\nabla\psi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\cdot\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\cdot\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial y} = 0}

העתקה קונפורמית

כל זרימה פוטנציאלית דו ממדית ניתנת למיפוי על ידי העתקה קונפורמית לפונקציה מרוכבת הולומורפית. גם ההפך הוא נכון, וכל פונקציה הולומורפית או מרומורפית מתארת זרימה דו ממדית. נוכיח כעת טענה זו:

נגדיר את ההעתקה הממפה את המישור הפיזיקלי $(x,y)$ אל מישור ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\varphi,\psi)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y,\varphi} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} הן פונקציות ממשיות. נוח להגדיר את הגדלים המרוכבים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = x +iy}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w = \varphi + i\psi}

כעת, אם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(z) = w \iff f(x+iy) = \varphi +i\psi}

אז, מפני ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא פונקציה הולומורפית או מרומורפית, היא חייבת לקיים את משוואות קושי-רימן:

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

ולכן, נזהה את שדה המהירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u} = (u,v)} עם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, v = \frac{\partial \varphi}{\partial y}= -\frac{\partial \psi}{\partial x}}

זיהוי זה מוביל לכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} מזוהה עם פונקציית הפוטנציאל המהירות ואת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} עם פונקציית הזרם. הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} נקראת הפוטנציאל המרוכב של הזרימה.

את רכיבי המהירות ניתן לקבל באופן ישיר מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אם נגזור את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} לפי $z$, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\bar{f}}{dz} = u + iv}

נשים לב שהולומרפיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} גוררת שגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} מקיימות את משוואת לפלס:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2\varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}, \nabla^2\psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}}

ובתאם לסעיף הקודם התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2\psi = 0} שקול לתנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla \times \mathbf{u} = 0} ולכן הזרימה אי רוטציונית, והתנאי האוטומטי ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\partial x}}$ מכתיב את התנאי לאי דחיסות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{u} = 0} .

דוגמאות לזרימה פוטנציאלית דו ממדית

קווי הזרימה (בכחול) וקווים שווי פוטנציאל (בטורקיז) עבור זרימה בה n=1/2. זרימה זו מתארת זרימה מסביב משטח חצי אינסופי.

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרימה בה n=2/3. זרימה זו מתארת זרימה בקרבת פינה ברביע הרביעי.

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=1. זרימה זו מתארת זרימה מציפה

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=3/2. זרימה זו מתארת זרימה אל עבר פינ בת 120 מעלות

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=2. זרימה זו מתארת זרימה אל עבר פינה בת 90 מעלות

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=3. זרימה זו מתארת זרימה אל עבר פינה בת 60 מעלות

קווי הזרימה וקווים שווי פוטנציאל עבור זרים בה n=-1. זרימה זו מתארת זרימה מדובלט

הערות כלליות

ניתן להציב ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} כל פונקציה דיפרנציאבילית. בדוגמאות הבאות נשתמש במגוון של פונקציות אלמנטריות; ניתן להשתמש גם בפונקציות מיוחדות. נשים לב כי פונקציות שאינן חד-ערכיות כמו הלוגריתם הטבעי גם כן ניתנות למימוש, אבל צריכים להגביל אותן למשטח רימן אחד.

התנהגות חזקות

במקרה שחזקות מופעלות על המפה הקונפורמית מעבירים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z= x + iy} אל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w = \varphi +i\psi} לפי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w = Az^n}

לאחר מכן על ידי כתיבה של z בקואורדינטות פולריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z= x+iy=re^{i\theta}} נקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = Ar^n\sin(n\theta)} ו-$\varphi =Ar^{n}\cos(n\theta )$

באיורים משמאל ניתן לראות דוגמאות עבור ערכים שונים של n, הקווים השחורים מתארים את גבולות הזרימה (פינה, משטח אופקי וכו'), הקווים הכחולים הכהים מתארים את קווי הזרם והקווים הכחולים הבהירים את הקווים שווי הפוטנציאל. כמה חזקות מעניינות כתלות ב-n:

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = \frac{1}{2} } מתאר זרימה סביב משטח חצי אינסופי.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = \frac{2}{3}} מתאר זרימה ליד פינה ימנית.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 1} : מקרה טריוויאלי של זרימה מציפה.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 2} : זרימה היוצאת מפינה או נקודת סטגנציה.
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = -1} : זרימה הנוצרת כתוצאה מזוגן (דובלט).

המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא פרמטר אשר מתאר את הזרימה, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |A|} מתאר את העוצמה, בעוד שהארגומנט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle arg[A]} מייצג סיבוב של הזרימה מסביב לציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} .

התנהגות חזקות עבור n = 1 זרימה מציפה

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w = Az^1} כלומר, n=1, קווי הזרם (כלומר הקווים שעליהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = const} ) מהווים מערכת של קווים ישרים המקבילים לציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ממשי). קל לראות זאת על ידי פירוק לרכיבים ממשיים ומדומים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+iy) = A(x+iy) = Ax +iAy}

מכאן שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varphi = Ax} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = Ay} , זרימה זו נקראת זרימה מציפה בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

התנהגות חזקות עבור n = 2

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 2} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w=Az^2} וקווי הזרם המתאימים לערך קבוע מסוים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} מקיימים את המשוואה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = Ar^2\sin(2\theta)}

אשר מתארת מערכת של קווים היפרבוליים. ניתן להראות זאת על ידי פירוק לרכיבים (ממשיים ומרוכבים), נשים לב כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(2\theta) = 2\cos(\theta)\sin(\theta)} ובהצבה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(\theta) = \frac{y}{r}} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\theta)= \frac{x}{r}} ניתן להראות (אחרי פישוט) שהמשוואה המתארת את קווי הזרם היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = 2Axy}

שדה המהירות נתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla \varphi} או:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \psi}{\partial y} \\ -\frac{\partial \psi}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2Ax \\ -2Ay \end{pmatrix}}

זרימה זו היא הזרימה ליד נקודת סטגנציה. נשים לב שהזורם נמצא במנוחה בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = 0} (מתקבל מכך שהנגזרת של פונקציית הפוטנציאל המרוכבת מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left.\frac{df}{dz}\right|_{z=0} = 2z = 0} ). קו הזרם שבו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = 0} מעניין במיוחד מכיוון שיש לו שני (או ארבעה) ענפים אשר עוקבים אחרי הצירים כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 0} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=0} . מכיוון ששום זורם לא זורם על ציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , נוכל להתייחס אליו כאל גבול מוצק. ולכן אפשר להתעלם המזרימה בחצי המישור השלילי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y < 0} ולהתרכז בזרימה בחצי המישור העליון. עם תובנה זו ניתן לדמות את זרימה זו לזרימה שנוצרת כתוצאה מהטזת סילון מים אנכי על מישור אופקי. ניתן גם לדמות את הזרימה כזרימה ליד פינה ישרה (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 90^\circ} ) אם מסתכלים על האזור בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x > 0} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y > 0} .

התנהגות חזקות עבור n = 3

אם n = 3 הזרימה המתקבלת דומה לזרימה עבור n = 2 רק שכאן הזווית של הפינה שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 60^\circ} . קווי הזרם מקיימים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = 3x^2y - y^2}

התנהגות חזקות עם n = -1 (זוגן)

אם n = -1 קווי הזרם נתונים על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = -\frac{A}{r}\sin(\theta)}

ובפירוק לרכיבים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = -\frac{Ay}{r^2} = -\frac{Ay}{x^2 + y^2}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + y^2 + \frac{Ay}{\psi} =0}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + \left(y + \frac{A}{2\psi}\right)^2 = \left(\frac{A}{2\psi}\right)^2}

ולכן קווי הזרם הם מעגלים אשר ניצבים לציר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} בגובה של המקור. המעגלים בחצי המישור העליון זורמים בכיוון השעון והמעגלים בחצי המישור התחתון נגד כיוון השעון. נשים לב שרכיבי המהירות פרופורציונליים ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r^{-2}} ושהערכים שלהם במקור הם אינסופיים. לצורת הזרימה קוראים זוגן (דובלט), וניתן לדמות זוגן על ידי מקור ובור בעוצמה מסוימת אשר ממוקמים במרחק קטן מאוד (או אפילו אינפיניטסימלי) זה מזה. שדה המהירות נתון על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u,v) = \left(\frac{\partial \psi}{\partial y}, -\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) = \left(A\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}, -A\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}\right)}

ובקואורדינטות פולריות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_r, u_\theta) = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial \theta}, -\frac{\partial \psi}{\partial r}\right) = \left(-\frac{A}{r^2}\cos\theta,-\frac{A}{r^2}\sin\theta\right)}

התנהגות חזקות עם n = -2 (קוואדרופול)

אם n = -2 קווי הזרם הם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi = -\frac{A}{r^2}\sin(2\theta)}

זרימה זו נקראת זרימה קוואדרופולית.

מקור ובור

עבור מקור או בור ניתן להגדיר את פונקציית הפוטנציאל המרוכבת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega= \frac{Q}{2\pi}\ln{z}} (נשים לב ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} איננה חד ערכית) כאשר עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q<0} מתקבל בור ועבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q>0} מקור. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} הוא פרמטר המתאר את השטף הזורם דרך מעגל המקיף את המקור/בור. בקואורדינטות פולריות זרימה זו מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_r=\frac{Q}{2\pi r };u_\theta=0} . כלומר הזרימה היא רדיאלית.

מערבולת

עבור מערבולת פונקציית הפוטנציאל המרוכבת מוגדרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega= \frac{\Gamma}{2\pi i}\ln{z}} (נשים לב ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} איננה חד ערכית). הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma} הוא פרמטר המתאר את הסירקולציה על מעגל המקיף את הערבולת. בקואורדינטות פולריות זרימה זו מקיימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_r=0;u_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r }} . כלומר הזרימה היא אזימוטלית.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30066581זרימה פוטנציאלית דו-ממדית