התמרת הילברט

במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי, שלוקח פונקציה $u(t)$, ומייצר פונקציה $H(u)(t)$, עם אותו התחום.

בשונה מהתמרות אחרות כמו התמרת Z והתמרת פורייה אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, כאשר במרחב התדר הפונקציה החדשה היא הפונקציה המקורית בתוספת הסטת מופע של $90^{\circ }$.

התמרת הילברט קרויה על שם המתמטיקאי הגרמני דויד הילברט, שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית.

מבוא

באדום-התמרת הילברט של גל מרובע (בכחול)

התמרת הילברט של פונקציה $u(t)$ היא קונבולוציה של הפונקציה $u(t)$ עם הפונקציה $h(t)=1/(\pi t)$.

ההתמרה מחושבת בצורה הבאה:

$\hat{u}(t)=H(u)(t)={\mathrm{\int }}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )h(t-\tau )d\tau =\frac{1}{\pi }{\mathrm{\int }}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{u(\tau )}{t-\tau }d\tau$

כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה $u$, התוצאה היא $u$ שלילית:

$H(H(u))(t)=-u(t)$

מכאן שהתמרת הילברט ההפוכה היא:

$H^{-1}=-H$

במישור התדר, התמרת הילברט היא:

$H(f)=-j\cdot sign(f)$

כאשר $sign(f)$ היא פוקנציית הסימן.

מכאן ניתן לראות ש-$|H(f)|=1$, כלומר התמרת הילברט משנה רק את המופע של האות, היא מסובבת את המופע של רכיבי התדר החיוביים ב־$-90^{\circ }$ ואת המופע של רכיבי התדר השליליים ב-$90^{\circ }$.

לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא:

$\hat{U}(f)=H(f)U(f)=-j\cdot sign(f)\cdot U(f)$

כאשר $U(f)$ ו-$\hat{U}(f)$ הן ההתמרות פורייה של $u(t)$ ו-$\hat{u}(t)$ בהתאמה.

סימון

בעיבוד אותות, התמרת הילברט של $u(t)$ מסומנת ב־$\hat{u}(t)$. במתמטיקה, הסימון הנפוץ הוא $\tilde{u}(t)$.

טבלת התמרות הילברט

פונקציה	התמרת הילברט	פירוש
$\sin (t)$	$-\cos (t)$	סינוס
$\cos (t)$	$\sin (t)$	קוסינוס
$\exp \left(it\right)$	$-i\exp \left(it\right)$
$\exp (-it)$	$i\exp (-it)$
$\frac{1}{t^2+1}$	$\frac{t}{t^2+1}$
$e^{-t^2}$	$2{\pi }^{-1/2}F(t)$	פונקציית דוסון
$\text{sinc}(t)$	$\frac{1-\cos (t)}{t}$	פונקציית Sinc
$\sqcap (t)$	$\frac{1}{\pi }\log \left|\frac{t+\frac{1}{2}}{t-\frac{1}{2}}\right|$	פונקציית המלבן
$\delta (t)$	$\frac{1}{\pi t}$	פונקציית דלתא של דיראק

ראו גם

• התמרת פורייה
• התמרת Z

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התמרת הילברט בוויקישיתוף

• התמרת הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התמרת הילברט40800651Q685437