השתנות חסומה

השתנות חסומה היא תכונה של פונקציות ממשיות. עבור פונקציות במשתנה אחד, פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [a, b]} היא כזו שהשינוי הכולל שלה על ציר ה y הוא סופי, ולכן היא גם חסומה בקטע.

הגדרה

עבור פונקציה $\ f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ תהי $T$ חלוקה של הקטע בצורה הבאה:

$\ T:a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b$

נגדיר את ההשתנות של $f$ לפי $T$ להיות:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ v(f,T)=\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|}

כעת נגדיר את ההשתנות הכללית של הפונקציה בקטע $[a,b]$ להיות:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{T}\{v(f,T)\}}

כאשר ההשתנות הכללית של $f$ בקטע היא ערך ממשי סופי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} תיקרא "בעלת השתנות חסומה בקטע".

דוגמאות

• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos x} היא בעלת השתנות חסומה בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,\pi]} ומתקיים שם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^b_a(\cos x) = 2} .
• כל פונקציה מונוטונית היא בעלת השתנות חסומה ומתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ V^b_a(f) = |f(b)-f(a)|} .
• כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה שכן במקרה כזה קיים קבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V^b_a(f) \le K(b-a)} .
• פונקציית דיריכלה היא פונקציה חסומה שאינה בעלת השתנות חסומה. לכל n טבעי אפשר לבחור חלוקה T שבה יש n+1 נקודות רציונליות ואי-רציונליות לסירוגין ולקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(T) = n} .
• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\sin(1/x)} המוגדרת כאפס באפס היא פונקציה רציפה וחסומה בקטע $[0,1]$ שאינה בעלת השתנות חסומה. אפשר לבנות סדרת חלוקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (T_n)} עם נקודות קרובות מספיק לאפס כך שהסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(T_n)} היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני המתבדר.

תכונות של פונקציות בעלות השתנות חסומה בקטע סגור

• צירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה הוא פונקציה בעלת השתנות חסומה.
• פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה חסומה (ולכן אינטגרבילית). הסיבה לכך נובעת ישירות מהאי-שיווין הפשוט שנובע מחלוקה של הקטע בנקודה אחת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T: a = x_0 < x_1 = x < x_2 = b} :

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ |f(x)|-|f(a)|\leq |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|=\sum _{i=1}^{2}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|\leq V_{a}^{b}(f)}

ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |f(x)| \le V^b_a(f) + |f(a)|} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [a,b]} .

הכיוון ההפוך לא נכון כפי שמודגם בדוגמאות.

• פונקציה היא בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא הפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות: אם $\ f$ פונקציה בעלת השתנות חסומה, הפונקציות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_1(x) = V_a^x f}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_2(x) = V_a^x f - f(x)}

שתיהן פונקציות מונוטוניות לא יורדות, ומתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = f_1(x) - f_2(x)}

כל הפרש בין פונקציות לא יורדות הוא בעלת השתנות חסומה כצירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה.

• לפונקציה בעלת השתנות חסומה קבוצה בת מנייה של נקודות אי-רציפות וכולן מהסוג הראשון. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.

• פונקציה בעלת השתנות חסומה גזירה כמעט בכל מקום והנגזרת שלה אינטגרבילית לבג. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות.

• אם $f$ רציפה בהחלט מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_a^b(f) = \int_a^b |f'| d\lambda} (אינטגרל לבג לפי מידת לבג).

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22366931השתנות חסומה