הרחבת פיקאר-וסיו

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה דיפרנציאלית, הרחבת פיקאר-וסיו (Picard–Vessiot) היא הרחבת שדות דיפרנציאלים המתקבלת על ידי הוספת פתרונות של משוואה דיפרנציאלית לשדה המקורי.

הגדרה

יהי F שדה דיפרנציאלי עם גזירה $d_{F}$. אומרים כי שדה דיפרנציאלי K עם גזירה $d_{K}$ הוא הרחבה דיפרנציאלית של F אם $F\subseteq K$ והצמצום של $d_{K}$ לF שווה ל$d_{F}$.

הרחבה דיפרנציאלית $F\subseteq K$ נקראת הרחבת פיקאר-וסיו אם מתקיימים שני התנאים הבאים

1. שדה הקבועים של F שווה לשדה הקבועים של K.
2. קיימת משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית L מסדר n עם מקדמים בF כך K נוצר מעל F על ידי הפתרונות של L, וכך שמרחב הפתרונות של L בK הוא מרחב וקטורי מממד n מעל שדה הקבועים.

במקרה זה אומרים כי $F\subseteq K$ היא הרחבת פיקאר-וסיו של F ביחס למשוואה L.

הרחבות פיקאר-וסיו הן המקבילה של הרחבות גלואה בתורת גלואה הדיפרנציאלית.

קיום ויחידות

אם F שדה דיפרנציאלי ששדה הקבועים שלו הוא שדה סגור אלגברית, אז לכל משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית L קיימת הרחבת פיקאר-וסיו $F\subseteq K$ ביחס לL. אם שדה הקבועים אינו סגור אלגברית יש דוגמאות שבהן לא קיימת הרחבת פיקאר-וסיו. למרות זאת, לכל שדה דיפרנציאלי ומשוואה L כדלעיל קיימת הרחבה דיפרנציאלית K שבה נמצאים כל הפתרונות של L וששדה הקבועים שלה הוא הרחבה אלגברית של שדה הקבועים של F.

אם קיימת לF הרחבת פיקאר-וסיו ביחס למשוואה L אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם של שדות דיפרנציאלים (כלומר, איזומורפיזם של שדות המכבד את פעולת הגזירה).

לקריאה נוספת

• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24099327הרחבת פיקאר-וסיו