הפרדוקס של בנך-טרסקי

פרדוקס בנך-טרסקי קובע שניתן לפרק כדור ולהרכיב ממנו שני כדורים באותו גודל

הפרדוקס של בנך-טרסקי (באנגלית: Banach-Tarski Paradox) הוא משפט מתמטי, הקובע שאפשר לחלק כדור למספר סופי של חלקים לא חופפים באופן כזה שאחרי הזזה וסיבוב של החלקים, ניתן יהיה להרכיב מהם שני כדורים מלאים, זהים במידותיהם לכדור המקורי. המשפט מסתמך במידה רבה על עבודה קודמת של האוסדורף, ויש המכנים אותו "פרדוקס בנך-האוסדורף-טרסקי" בשל כך.

התוצאה נקראת "פרדוקס" משום שהיא סותרת את האינטואציה ואת הגישה הגאומטרית והפיזיקלית השכיחה. עם זאת, אין במשפט שום בעיה לוגית - הוא נובע מאקסיומת הבחירה.

הסבר פורמלי לתוכן המשפט

נגדיר יחס שקילות בין תת-קבוצות של מרחב אוקלידי (n-ממדי) כך: $A$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} תקראנה חופפות-בחלקים אם ניתן להציג את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} כאיחוד זר של קבוצות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=\uplus_{i=1}^n A_i} ,הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B=\uplus_{i=1}^n B_i} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \leq i \leq n } מתקיים ש-$A_{i}$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B_i} חופפות, כלומר קיימת איזומטריה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_i} עבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_i = \phi_i(A_i)} .

דומה, שאם שתי צורות הן חופפות-בחלקים, נכון לומר שיש להן אותו "שטח" או "נפח". ואומנם כבר אוקלידס השתמש ברעיון זה ב"יסודות" כדי להגדיר מתי לשתי צורות במישור הדו-ממדי יש אותו שטח; ניתן להראות שהגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה המודרנית של שטח.

אולם כאשר מנסים להחיל הגדרה זו על קבוצות מממדים גבוהים יותר, מתברר שעבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \geq 3 } כל שתי קבוצות חסומות בעלות פנים לא ריק הן חופפות בחלקים. זהו תוכנו של המשפט שהוכח על ידי סטפן בנך ואלפרד טרסקי ב-1924. חשוב להעיר שחלק הארי של ההוכחה פורסם כבר בשנת 1914 על ידי פליקס האוסדורף, שבנה "פרדוקס" דומה עבור מעטפת כדורית דו-ממדית.

המשמעות המיוחסת לפרדוקס

כבר עמדנו על כך, שכל פונקציית שטח "סבירה" צריכה לכבד חפיפה-בחלקים, כלומר - שלקבוצות חופפות-בחלקים יהיה אותו שטח. באמצעות פרדוקס דומה, האוסדורף ביקש להראות שלא ניתן להגדיר פונקציית שטח "סבירה" שכזו על כל תת-הקבוצות של הספירה הדו-ממדית (אף על פי שעל הקבוצות הדו-ממדיות במישור כן ניתן לעשות זאת). ב-1914 מצא האוסדורף בחבורת המטריצות האורתוגונליות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{SO}_3(\mathbb{R})} תת-חבורה שהיא מכפלה חופשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_3} ולכן פועלת פעולה פרדוקסלית על הספירה (לאחר סילוק קבוצה בת-מניה).

את פרדוקס בנך-טרסקי ניתן לפרש ברוח זו כהעשרה משמעותית של אותה טענה: עבור $n\geq 3$, אם מנסים להגדיר שוויון נפח בין תת-קבוצות של המרחב האוקלידי ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -ממדי, חייבים לקבל אחת מבין שלוש המגבלות הבאות:

• היחס לא יהיה מוגדר על כל תת-הקבוצות של המרחב, אלא רק על קומץ מבין מגוון הקבוצות.
• היחס לא יכבד חפיפה-בחלקים - כלומר, צורות חופפות-בחלקים יוגדרו לעיתים כבעלות נפח שונה.
• היחס יהיה מנוון - כל שתי קבוצות (חסומות ובעלות פנים לא ריק) תוגדרנה כשוות נפח.

טרסקי ובנך הדגישו את העובדה, שהבניה של הפרדוקס מסתמכת על אקסיומת הבחירה (ולמעשה ניתן להראות, שבלעדיה בניית הפירוק איננה אפשרית). נראה שמטרתם הייתה להשתמש בפרדוקס כעדות לכך שיש לזנוח את אקסיומת הבחירה. עם זאת, על אף שהוא מכונה "פרדוקס", אין במשפט זה הוכחה של סתירה לוגית, שהייתה מחייבת שינוי באקסיומות. מרבית המתמטיקאים ממשיכים להשתמש באקסיומת הבחירה, ורואים במשפט "מוזרות" המצביעה על אחד הפערים בין האינטואיציה האנושית לאמת המתמטית. החלקים עצמם מהם מרכיבים את הכדורים בפרדוקס הם קבוצות בלתי מדידות לפי מידת לבג, כלומר אי אפשר להגדיר להן נפח באופן טבעי. עובדה זו תורמת ל"קבלת" הפרדוקס בקרב מתמטיקאים.

סקיצה של הוכחה

הפירוק הפרדוקסלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} מודגם על גרף קיילי שלה

• באופן דומה להוכחה של משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין ניתן להראות שהיחס "הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} חופף-בחלקים לתת-קבוצה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} " הוא יחס סדר חלקי. לכן אם נצליח להראות שכדור חופף-בחלקים ל-2 כדורים מאותו גודל (ומכאן שהוא חופף-בחלקים לכל מספר סופי של כדורים מאותו גודל), נוכל להראות שכל שתי קבוצות חסומות עם פנים לא ריק (כלומר, המכילות כדור וניתנות לכיסוי על ידי מספר סופי של כדורים מכל גודל נתון) הן חופפות-בחלקים זו לזו.

עושים זאת כך:

• מראים שבחבורת הסיבובים של ספירת היחידה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{SO}_n(\mathbb R)} , ניתן למצוא תת-חבורה חופשית, $F$, בשני יוצרים, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} .
• ניתן למצוא "פירוק פרדוקסלי" ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , כלומר להציג אותה כאיחוד זר של חמש קבוצות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=aF \uplus a^{-1}F \uplus bF \uplus b^{-1}F \uplus \{1_F\}} כך שניתן להרכיב שני עותקים של $F$ מהקבוצות הללו על ידי הכפלת הקבוצות באיברים מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=aF \cup a(a^{-1}F)} וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=bF \cup b(b^{-1}F)} .

• אם מסירים מספירת היחידה את הקבוצה (בת המנייה) של נקודות השבת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} מתקבלת תת-קבוצה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , ש-$F$ פועלת עליה באופן חופשי - כלומר, שאף איבר מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , למעט איבר היחידה, אינו משאיר אף איבר מ-T במקומו.
• על ידי בחירת קבוצת נציגים מכל אחד מהמסלולים שבהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} פועלת על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , והפעלת הקבוצות מהפירוק הפרדוקסלי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} על קבוצת נציגים זו, מתקבל "פירוק פרדוקסלי" של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} - כלומר הצגה של $T$ כאיחוד זר של חמש קבוצות, כך שמשני זוגות של קבוצות ניתן להרכיב עותק של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} על ידי הפעלת איזשהו סיבוב על הקבוצות.
• נותר רק להראות ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} חופפת-בחלקים לכל הספירה (כלומר, שניתן להחזיר מספר בן מנייה של נקודות על ידי פירוק והרכבה מחדש של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} ). כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הספירה. כעת, קל לחלק את הכדור כולו על ידי מתיחת קו ישר מכל נקודה בספירה למרכזה. כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור כולו, למעט המרכז. על ידי חפיפה-בחלקים אחרונה מוסיפים את הנקודה הזו, כך שמתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור לשני כדורים זהים, כנדרש.

ראו גם

• בעיית תרבוע העיגול של טרסקי
• מספר טרסקי
• הפרדוקס של שרפינסקי-מזורקביץ'

לקריאה נוספת

• איאן סטיוארט, תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2012, הפרק "חיתוך ממש תמוה", עמ' 190–194.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הפרדוקס של בנך-טרסקי בוויקישיתוף

• גדי אלכסנדרוביץ', הפרדוקס של בנך-טרסקי, באתר "לא מדויק", 9 בפברואר 2011

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הפרדוקס של בנך-טרסקי32648641Q737851