הלמה של נקאימה

במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג $R$ .

לפי הלמה, $J(R)\cdot M\neq M$ לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, $M$ , כאשר אם $J=J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של $R$ . הטענה חשובה במיוחד כאשר $R$ חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.

מן הלמה נובע, למשל, שכאשר $M$ נוצר סופית, $\ J\cdot M+N\neq M$ לכל תת-מודול $N<M$ ; כלומר, המכפלה $J(R)\cdot M$ קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- $M$ על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל- $M$ כולו.

בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:

תהי

{\mathcal {F}}

אלומה קוהרנטית. אז הנבט ב-

x

, המסומן ב

{\mathcal {F}}_{x}

, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה

U

של $x$ כך ש-

{\mathcal {F}}|_{U}=0

.

בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית $M$ מעל חוג $R$ ולכל אידיאל $I$ ב- $R$ , אם $IM=M$ אז קיים $a\in I$ שעבורו $\left(1+a\right)M=0$ . כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד $a\in I$ כך שלכל $m\in M$ מתקיים $am=m$ .

הוכחה

נניח כי $M$ הוא $R$ -מודול נוצר סופית השונה מ- $0$ . מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש- $M$ נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול $M'\subset M$ מקסימלי (כלומר, $M'$ אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של $M$ ). מכך נובע כי $M/M'$ הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידיאל שמאלי מקסימלי $m$ ב- $R$ כך ש- $M/M'\cong R/m$ . אבל $J(R)\cdot R/m\subset m\cdot R/m=0$ , ולכן $J(R)\cdot M/M'=0$ . מכאן ש- $J(R)\cdot M\subseteq M'\neq M$ .