הלמה של גרנוול

במתמטיקה, הלמה של גרנוול היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה. הלמה קרויה על שם המתמטיקאי השוודי תומאס הוקון גרנוול (Thomas Hakon Grönwall).

ניסוח הלמה

תהי $f(x)\ge 0$ פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע $A$ ועבור $x>x_0$ את האי-שוויון הבא: $$f(x)\le A\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$$ אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס, כלומר $f(x)\equiv 0$.

הוכחה

ניתן לראות שמתקיים $A\ge 0$ כי אם לא, יתקבל ביטוי שלילי באגף ימין. כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:

$f(x)-A\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\le 0$

זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:

• $g(x)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$
• $g^{\prime }(x)=f(x)$ (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)

על ידי כפל בגורם אינטגרציה $e^{-Ax}$ תתקבל המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הבאה:

$e^{-Ax}{g}^{\prime }(x)-A\cdot g(x)e^{-Ax}=(e^{-Ax}g(x){)}^{\prime }\le 0$

על ידי ביצוע אינטגרציה $\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}dt$ על שני צידי האי שוויון נקבל:

$e^{-Ax}g(x)=e^{-Ax}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\le 0$

פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ($e^{h(x)}\ge 0$ לכל $h(x)$) ולכן המסקנה היא:

$\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\le 0$

ולפי ההנחה מתקיים:

$f(x)\le A\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\le 0$

אבל ההנחה היא גם כי $f(x)\ge 0$ ולכן בהכרח $f(x)=0$. מ.ש.ל.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הלמה של גרנוול42147070Q510733