הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה
הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה (Compact-Open topology) היא טופולוגיה על מרחב הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי אחד לאחר. זו הטופולוגיה הסטנדרטית בתחומים שונים, כמו במרחבי פונקציות ובתורת ההומוטופיה, בפרט במרחבים נוצרים קומפקטית.
הגדרה
יהיו $ X,Y $ שני מרחבים טופולוגיים. נסמן ב-$ C(X,Y) $ את אוסף הפונקציות הרציפות ביניהם.
על קבוצה זו נגדיר תת בסיס לטופולוגיה בתור אוסף הקבוצות $ \{f:X\to Y\mid f(C)\subset U\} $, כאשר $ C\subset X $ קומפקטית ו-$ U\subset Y $ פתוחה. הטופולוגיה הנוצרת נקראת, כאמור, הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. (תת הבסיס בדרך כלל אינו בסיס לטופולוגיה).
אם $ X $ מרחב האוסדורף, אז כדי לבנות תת-בסיס מספיק להתחיל מתת בסיס של $ Y $; כלומר, אם $ S_{0} $ תת-בסיס של $ Y $, אז $ \{f:X\to Y\mid f(C)\subset U\} $ לכל $ U\in S_{0} $ ו-$ C\subset X $ קומפקטית, אף הוא תת-בסיס.
תכונות כלליות
לדוגמה, המרחב $ C(\{a\},Y) $ הומיאומורפי ל-$ Y $.
אם $ X,Y,Z $ מרחבים, כאשר $ Y $ קומקפטי מקומית, אז פונקציית ההרכבה $ C(Y,Z)\times C(X,Y)\to C(X,Z) $ היא רציפה. בפרט, אם $ X $ הוא נקודון, אז העתקת ההצבה $ e(f,x)=f(x) $ רציפה. טענה זו שימושית במיוחד בתורת המרחבים הנוצרים קומפקטית.
המרחב $ C(X,Y) $ מקבל בירושה תכונות רבות של המרחב $ Y $. למשל, אם המרחב $ Y $ מקיים את אחת מאקסיומות המנייה $ T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}} $, גם $ C(X,Y) $ מקיים אותה.
מרחב הפונקציות כאשר Y מטרי
בסעיף זה נניח ש-$ Y $ מטרי, עם מטריקה d.
ההתכנסות בטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה שקולה לטופולוגיית ההתכנסות הקומפקטית(אנ'). כלומר, סדרה של פונקציות $ \ f_{n}:X\rightarrow Y $ מתכנסת תחת הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה אל הפונקציה $ f:X\rightarrow Y $, אם ורק אם $ \ \sup _{x\in K}d(f_{n}(x),f(x))\rightarrow 0 $ לכל תת-קבוצה קומפקטית $ \,K\subset X $ (עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר, כאשר Y מרחב אוניפורמי (אנ')).
נניח כעת, בנוסף לכך ש-Y מטרי, גם ש-X קומפקטי. אז $ C(X,Y) $ עצמו הוא מרחב מטרי, עם המטריקה $ \ d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)) $. בדומה לזה, אם Y מרחב נורמי, אז $ C(X,Y) $ הוא מרחב נורמי (עם המטריקה שהוגדרה לעיל). המקרה המיוחד $ \ Y=\mathbb {R} $ הוא בעל חשיבות מרכזית באנליזה פונקציונלית. משפט אסקולי-ארצלה קובע שעבור תת-קבוצה $ \,F\subset C(X,\mathbb {R} ) $, הסגור $ {\overline {F}} $ קומפקטי אם ורק אם הקבוצה חסומה במידה שווה ורציפה במידה אחידה.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה, באתר MathWorld (באנגלית)
הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה28324145Q1669863