הזהות הגמישה

באלגברה לא אסוציאטיבית, הזהות $x(yx)=(xy)x$ נקראת הזהות הגמישה. זהות זו משותפת למחלקות חשובות רבות של אלגברות לא אסוציאטיביות, לרבות אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות. כל אלגברה קומוטטיבית או אנטי-קומוטטיבית מקיימת את הזהות הגמישה.

קשרים

מן הזהות הגמישה נובע שהאסוציאטור מקיים את המולטילינאריזציה $(x,y,z)+(z,y,x)=0$, ובמאפיין שונה מ-2, שתי הזהויות שקולות.

הזהות הגמישה שקולה לכך שהקומוטטור $[L_x,R_x]=0$, כאשר $L_x$ ו- $R_x$ הן פעולות הכפל משמאל ומימין ב-x.

פיזור פעולת הכפל

אם A היא אלגברה לא אסוציאטיבית מעל שדה F, עם פעולת כפל $\cdot$, אפשר להגדיר בה פעולת כפל חדשה, $*$, לפי $x*y=\alpha x\cdot y+\beta y\cdot x$, כאשר $\alpha ,\beta \in F$ הם קבועים. איבר היחידה של $(A,\cdot )$ נשאר איבר יחידה גם ביחס לפעולה החדשה, אם $\alpha +\beta =1$. אם $\alpha \ne \beta$, אפשר לשחזר את $\cdot$ מן הפעולה $*$, לפי הנוסחה $x\cdot y={\alpha }^{\prime }x*y+{\beta }^{\prime }y*x$ כאשר ${\alpha }^{\prime }=\frac{\alpha }{{\alpha }^2-{\beta }^2},{\beta }^{\prime }=\frac{\beta }{{\beta }^2-{\alpha }^2}$.

אם A גמישה ביחס לפעולה המקורית, אז היא גמישה גם ביחס לפעולה החדשה.

במאפיין שונה מ-2, מסמנים ב- $A^{+}$ את האלגברה הקומוטטיבית המתקבלת מההגדרה $x*y=\frac{1}{2}(xy+yx)$, היינו $\alpha =\beta =\frac{1}{2}$. בפרט, אם A גמישה, אז גם $A^{+}$ גמישה (אם כי ההפך אינו בהכרח נכון).

מיון

במאפיין אפס, אם A גמישה ופשוטה למחצה, אז $A^{+}$ אלגברת ז'ורדן.

בכל מאפיין שונה מ-2, אם A גמישה ופשוטה, ו-$A^{+}$ אלגברת ז'ורדן פשוטה, אז מתקיים אחד משלושת התנאים הבאים: (1) A היא אלגברת ז'ורדן פשוטה; (2) A היא אלגברה ריבועית עם תבנית נורמה לא מנוונת, או (3) A היא "אסוציאטיבית למחצה": קיימת K/F ריבועית, כך ש- $A{\otimes }_{F}K=B_{\lambda }$, כאשר B אלגברה פשוטה אסוציאטיבית מרכזית מעל K, והכפל ב- $B_{\lambda }$ מוגדר על ידי פיזור הכפל של B: $x*y=\lambda xy+(1-\lambda )yx$.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הזהות הגמישה30922393