פונקציה הומוגנית

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר $n$ היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע $c$, ערך הפונקציה מוכפל ב־$c^n$.

הגדרה מפורטת

תהי $f:V\to W$ פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה $F$, ויהי $k$ מספר שלם. אזי הפונקציה $f$ תיקרא הומוגנית מסדר $k$ אם $f(\alpha \mathbf{𝐯})={\alpha }^{k}f(\mathbf{𝐯})$ לכל $\alpha \in F$ שונה מאפס, ולכל $v\in V$.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר $k$ כאשר הדרישה $f(\alpha \mathbf{𝐯})={\alpha }^{k}f(\mathbf{𝐯})$ צריכה להתקיים רק עבור $\alpha$ חיובי, ו-$k$ יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאות

העתקות ליניאריות

כל העתקה ליניארית $f:V\to W$ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: $f(\alpha \mathbf{𝐯})=\alpha f(\mathbf{𝐯})$ לכל $\alpha \in F$ ולכל $v\in V$ .

פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד-איבר) ב-$n$ משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית $f:F^n\to F$. לדוגמה שטח של ריבוע - $S\left(a\right)=a^2$ - הוא מונום הומוגני $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר $S\left(ca\right)=c^2{a}^2=c^{2}S(a)$.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: $x^5+2x^3{y}^2+9x{y}^4$ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם $f$ הוא פולינום הומוגני מסדר $m$ ו-$g$ הוא פולינום הומוגני מסדר $n$, אזי $\frac{f}{g}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר $m-n$ בכל הנקודות חוץ מבשורשים של $g$.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: $\frac{x^2+y^2+z^2}{(x+2y+3z{)}^2}$, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיות

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית - $E_k(m,v)=\frac{1}{2}m{v}^2$ - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - $E_k(m,cv)=\frac{1}{2}m{c}^2{v}^2$, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים $E_k(cm,v)=\frac{1}{2}cm{v}^2$ .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן $t$ נתון על ידי $N(N_0,t,\tau )=N_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$, ובעוד שמתקיים $N(c{N}_0,t,\tau )=cN(N_0,t,\tau )$, קרי $N$ היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור $N_0$, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות

ניסוח המשפט

תהי $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה חלקה אזי $f$ הומוגנית חיובית מסדר $k$ אם ורק אם:

$\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{𝐱})=\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=kf(\mathbf{𝐱})$.

הוכחה

$\Leftarrow$: תהי $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: $f(a\mathbf{𝐱})=a^{k}f(\mathbf{𝐱})$. נגזור את שני האגפים לפי $a$ ונקבל: $\frac{\mathrm{d}f(a\mathbf{𝐱})}{\mathrm{d}a}=\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(a\mathbf{𝐱})=k{a}^{k-1}f(\mathbf{𝐱})$.

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל $a$, נציב $a=1$ ונקבל: $\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{𝐱})=kf(\mathbf{𝐱})$.

$\Rightarrow$: תהי $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה חלקה המקיימת $\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{𝐱})=kf(\mathbf{𝐱})$ לכל $\mathbf{𝐱}$.

נבחר $\mathbf{𝐱}$ כלשהו ונגדיר: $g(a)=a^{-k}f(a\mathbf{𝐱})$.

כעת: $\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}a}=-k{a}^{-k-1}f(a\mathbf{𝐱})+a^{-k}\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(a\mathbf{𝐱})$.

נציב: $a\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(a\mathbf{𝐱})=kf(a\mathbf{𝐱})$.

ונקבל: $\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}a}=-k{a}^{-k-1}f(a\mathbf{𝐱})+a^{-k}\frac{kf(a\mathbf{𝐱})}{a}=0$. לכן $g$ היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: $g(1)=f(\mathbf{𝐱})$ לכן לכל $a>0$ מתקיים $g(a)=f(\mathbf{𝐱})$. כלומר $f(a\mathbf{𝐱})=a^{k}f(\mathbf{𝐱})$

תוצאה

עבור פונקציה $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ גזירה והומוגנית חיובית מסדר $k$ נקבל ש-$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ היא הומוגנית מסדר $k-1$. כלומר:

${\frac{\partial f}{\partial x_i}|}_{cx}=c^{k-1}{\frac{\partial f}{\partial x_i}|}_x$.

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי $x_i$. שכן על פי משפט אוילר:

$\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{𝐱})=kf(\mathbf{𝐱})$.

נגזור לפי $x_i$ ונקבל:

$\frac{\partial (\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }f(\mathbf{𝐱}))}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}+\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{\partial f}{\partial x_i}=k\frac{\partial f}{\partial x_i}$.

ולכן:

$\mathbf{𝐱}\cdot \mathrm{\nabla }\frac{\partial f}{\partial x_i}=(k-1)\frac{\partial f}{\partial x_i}$. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים

• פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציה הומוגנית33141373Q1132952