גז אולטרה-יחסותי

גז אולטרה-יחסותי (באנגלית: Ultra-relativistic Gas) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.

באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:

${\epsilon }^2=(pc{)}^2+(m_0{c}^2{)}^2$

כאשר $p$ הוא התנע של החלקיק, $m_0$ מסת המנוחה שלו, ו-$c$ מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים $pc>>m_0{c}^2$, ועל כן האנרגיה שלו היא:

$\epsilon \approx pc=\hslash kc$

כאשר $\hslash$ הוא קבוע פלאנק המצומצם.

משתנים תרמודינמיים

נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל $N$ חלקיקים בנפח $V$, המצומד למאגר חום בטמפרטורה $\tau$ (כאשר $\tau =k_{B}T$, ו-$k_B$ הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות $d\epsilon$ הוא $g(\epsilon )d\epsilon$, כאשר $g(\epsilon )$ צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:

$g(\epsilon )=\frac{V}{2{\pi }^2(\hslash c{)}^3}{\epsilon }^2$

מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:

$Z_{single}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g\left(\epsilon \right)e^{-\beta \epsilon }d\epsilon =\frac{V}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\epsilon }^2{e}^{-\beta \epsilon }d\epsilon =\frac{V}{{\pi }^2{\left(\hslash c\beta \right)}^3}$

כאשר $\beta =\frac{1}{\tau }=\frac{1}{k_{B}T}$.

פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:

$Z=\frac{{\left(Z_{single}\right)}^N}{N!}=\frac{{\left[\frac{V}{{\pi }^2{\left(\hslash c\beta \right)}^3}\right]}^N}{N!}$

מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:

האנרגיה הפנימית: $U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left(Z\right)=\frac{3N}{\beta }=3N\tau$

האנרגיה החופשית של הלמהולץ: $F=-\frac{1}{\beta }\ln \left(Z\right)=-N\tau \ln \left[\frac{V{\tau }^3}{{\pi }^2{\left(\hslash c\right)}^3}\right]+\tau ln(N!)\cong N\tau \{\ln \left[\frac{N{\pi }^2{\left(\hslash c\right)}^3}{V{\tau }^3}\right]-1\}$

כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג.

האנטרופיה: $\sigma =-{\left(\frac{\partial F}{\partial \tau }\right)}_{V,N}=N\{\ln \left[\frac{V{\tau }^3}{{N\pi }^2{\left(\hslash c\right)}^3}\right]+4\}$

הלחץ: $p=-{\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)}_{\tau ,N}=\frac{N\tau }{V}$

ניתן לשים לב שמתקיים:

$\frac{p}{u}=\frac{1}{3}$

(כאשר $u=\frac{U}{V}$)

אפקטים קוונטיים בגז

בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו-$g_s$ הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .

לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{n-1}}{{z^{-1}e}^x\pm 1}dx=\mp \mathrm{\Gamma }\left(n\right)L{i}_n(\mp z)$

כאשר $\mathrm{\Gamma }(z)$ היא פונקציית גמא, $L{i}_n(z)$ הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- $z\equiv e^{\mu /\tau }$.

גז פרמיונים אולטרה-יחסותי

בגבול $T\to 0$ (גז פרמיונים מנוון)

בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי (${\epsilon }_F$) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:

$N=\underset{0}{\overset{{\epsilon }_F}{\int }}g\left(\epsilon \right)d\epsilon$

כאשר $g(\epsilon )$ היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- $g\left(\epsilon \right)=\frac{g_{s}V}{{2{\pi }^2\hslash }^3}{p}^2\frac{dp}{d\epsilon }$. לכן:

$N=\frac{g_{s}V}{2{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{p_F}{\int }}{p}^{2}dp=\frac{g_{s}V}{6{\pi }^2{\hslash }^3}{p}_F^3⟹p_F={\left(\frac{6{\pi }^{2}N}{g_{s}V}\right)}^{\frac{1}{3}}\hslash$

כאשר תנע פרמי $p_F$ הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה ${\epsilon }_F$. עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:

${\epsilon }_F=p_{F}c={\left(\frac{6{\pi }^{2}N}{g_{s}V}\right)}^{\frac{1}{3}}\hslash c$

ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:

$U=\underset{0}{\overset{{\epsilon }_F}{\int }}\epsilon g\left(\epsilon \right)d\epsilon =\frac{g_{s}Vc}{2{\pi }^2{\hslash }^3}\underset{0}{\overset{p_F}{\int }}{p}^{3}dp=\frac{g_{s}Vc}{8{\pi }^2{\hslash }^3}{p}_F^4=\frac{3}{4}N{\epsilon }_F$

$p=\frac{1}{3}\frac{U}{V}=\frac{1}{4}N{\epsilon }_F$

בטמפרטורה כללית

האנרגיה הפנימית מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות $d\epsilon$, כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.

הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא $f_{FD}\left(\epsilon \right)=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu )/\tau }+1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\epsilon /\tau }+1}$

$U=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_{s}g\left(\epsilon \right)\epsilon f_{FD}\left(\epsilon \right)d\epsilon =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_s\frac{V}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}{\epsilon }^2\frac{\epsilon }{z^{-1}{e}^{\epsilon /\tau }+1}d\epsilon =\frac{g_{s}V{\tau }^4}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx=-\frac{g_{s}V{\tau }^4}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\mathrm{\Gamma }\left(4\right)L{i}_4(-z)=-\frac{3g_{s}V{\tau }^4}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_4(-z)$

מספר החלקיקים:

$N=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_{s}g\left(\epsilon \right)f_{FD}\left(\epsilon \right)d\epsilon =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_s\frac{V}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}{\epsilon }^2\frac{1}{{z^{-1}e}^{\frac{\epsilon }{\tau }}+1}d\epsilon =\frac{g_{s}V{\tau }^3}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{{z^{-1}e}^x+1}dx=-\frac{g_{s}V{\tau }^3}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\mathrm{\Gamma }\left(3\right)L{i}_3(-z)=-\frac{g_{s}V{\tau }^3}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_3(-z)$

בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:

$\frac{pV}{\tau }=\ln {𝒬}=\sum _i\ln \left({1+e}^{-{\epsilon }_i/\tau }\right)$

(${𝒬}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ללחץ:

$p=\frac{\tau }{V}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_{s}g\left(\epsilon \right)\ln \left({1+e}^{-\frac{\epsilon }{\tau }}\right)d\epsilon =\frac{g_s{\tau }^4}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\ln (1+e^{-x})dx=\frac{g_s{\tau }^4}{6{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x+1}dx=-\frac{g_s{\tau }^4}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\mathrm{\Gamma }\left(4\right)L{i}_4(-z)=-\frac{g_s{\tau }^4}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_4(-z)$

כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם $Nd\mu =-\sigma d\tau +Vdp$, ניתן לקבל את הקשר $\frac{\sigma }{V}={\left(\frac{\partial p}{\partial \tau }\right)}_{\mu }$, כאשר $\sigma =\frac{S}{k_B}$ היא האנטרופיה. מכאן:

$\sigma =V{\left(\frac{\partial p}{\partial \tau }\right)}_{\mu }=-\frac{4g_{s}V{\tau }^3}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_4(-z)$

גז בוזונים אולטרה-יחסותי

לאנרגיה הפנימית ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.

הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: $f_{BE}\left(\epsilon \right)=\frac{1}{e^{\frac{\epsilon -\mu }{\tau }}-1}=\frac{1}{{z^{-1}e}^{\epsilon /\tau }-1}$

$U=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_{s}g\left(\epsilon \right)\epsilon f_{BE}\left(\epsilon \right)d\epsilon =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_s\frac{V}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}{\epsilon }^2\frac{\epsilon }{{z^{-1}e}^{\epsilon /\tau }-1}d\epsilon =\frac{g_{s}V{\tau }^4}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx=\frac{g_{s}V{\tau }^4}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\mathrm{\Gamma }\left(4\right)L{i}_4\left(z\right)=\frac{{3g}_{s}V{\tau }^4}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_4\left(z\right)$

האנרגיה כתלות בטמפרטורה של גז בוזונים וגז פרמיונים, עבור המקרה של פוטנציאל כימי אפס

כאשר בוצעה החלפת משתנים $x=\frac{\epsilon }{\tau }$. באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור מספר החלקיקים:

$N=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_{s}g\left(\epsilon \right)f_{BE}\left(\epsilon \right)d\epsilon =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_s\frac{V}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}{\epsilon }^2\frac{1}{{z^{-1}e}^{\frac{\epsilon }{\tau }}-1}d\epsilon =$

$=\frac{g_{s}V{\tau }^3}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{{z^{-1}e}^x-1}dx=\frac{g_{s}V{\tau }^3}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\mathrm{\Gamma }\left(3\right)L{i}_3\left(z\right)=\frac{g_{s}V{\tau }^3}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_3\left(z\right)$

נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:

$\frac{pV}{\tau }=\ln {𝒬}=-\sum _i\ln \left({1-ze}^{-{\epsilon }_i/\tau }\right)$

(${𝒬}$ היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

כדי לקבל את הלחץ:

$p=-\frac{\tau }{V}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_{s}g\left(\epsilon \right)\ln \left({1-ze}^{-\frac{\epsilon }{\tau }}\right)d\epsilon =-\frac{g_s{\tau }^4}{2{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\ln (1-{ze}^{-x})dx=\frac{g_s{\tau }^4}{6{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{{z^{-1}e}^x-1}dx=\frac{g_s{\tau }^4}{6{\pi }^2(\hslash {c)}^3}\mathrm{\Gamma }\left(4\right)L{i}_4\left(z\right)=\frac{g_s{\tau }^4}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_4\left(z\right)$

וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:

$\sigma =V{\left(\frac{\partial p}{\partial \tau }\right)}_{\mu }=\frac{4g_{s}V{\tau }^3}{{\pi }^2(\hslash {c)}^3}L{i}_4\left(z\right)$

חשיבות המודל

התפשטות היקום המוקדם

למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן על פי השערת המדע, ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח $\mu =0$, וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:

משתנים תרמודינמיים עבור בוזונים ופרמיונים, $\mu =0$

	בוזונים	פרמיונים
אנרגיה פנימית	$U=\frac{{\pi }^2}{30}\frac{g_{s}V{\tau }^4}{(\hslash {c)}^3}$	$U=\frac{7{\pi }^2}{240}\frac{g_{s}V{\tau }^4}{(\hslash {c)}^3}$
מספר חלקיקים	$N=\frac{\zeta \left(3\right)}{{\pi }^2}\frac{g_{s}V{\tau }^3}{(\hslash {c)}^3}$	$N=\frac{3\zeta \left(3\right)}{4{\pi }^2}\frac{g_{s}V{\tau }^3}{(\hslash {c)}^3}$
לחץ	$p=\frac{{\pi }^2}{90}\frac{g_s{\tau }^4}{(\hslash {c)}^3}$	$p=\frac{7{\pi }^2}{720}\frac{g_s{\tau }^4}{(\hslash {c)}^3}$
אנטרופיה	$\sigma =\frac{2{\pi }^2}{45}\frac{g_{s}V{\tau }^3}{(\hslash {c)}^3}$	$\sigma =\frac{7{\pi }^2}{180}\frac{g_{s}V{\tau }^3}{(\hslash {c)}^3}$

כאשר $\zeta (x)$ היא פונקציית זטא של רימן.

להשערת החוקרים, היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים $\sigma =const$. כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר $V{\tau }^3=const$. מכאן ניתן לרשום:

$\tau \left(t\right)a\left(t\right)=const$

כאשר $a(t)$ הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.

יציבות של ננסים לבנים

נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.

לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:

$p=\frac{\hslash c}{4}{\left(3{\pi }^2\right)}^{\frac{1}{3}}{n}^{4/3}$

(כאשר $n=\frac{N}{V}$)

פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:

$p=\frac{{\hslash }^2}{5m_e}{\left(3{\pi }^2\right)}^{\frac{2}{3}}{n}^{5/3}$

מכיוון ש- $n\approx \frac{Z\rho }{A{m}_p}$ (כאשר $Z$ המספר האטומי של האטומים בכוכב, $A$ מספר המסה שלהם, $\rho$ הצפיפות של הננס הלבן ו- $m_p$ מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:

$p_{non-relativistic}\propto {\rho }^{5/3}$

$p_{ultra-relativistic}\propto {\rho }^{4/3}$

הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:

$p_{gravitation}=-\frac{G}{5}{\left(\frac{4\pi }{3}\right)}^{\frac{1}{3}}{M}^{\frac{2}{3}}{\rho }^{4/3}$

כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.

לקריאה נוספת

• גז פרמי

ביבליוגרפיה

• Pathria, R.K; Beale, Paul D., Statistical Mechanics, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
• Blundell, S.; Blundell, K., Concepts in Thermal Physics (2006), Oxford University Press

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

גז אולטרה-יחסותי29994263