בעיית הבקר של ארכימדס

בעיית הבקר של ארכימדס היא בעיה באנליזה דיופנטית העוסקת במספר ראשי הבקר של אל השמש הרועים, כביכול, בסיציליה. הבעיה מיוחסת לארכימדס, אף כי יש על-כך עוררין.

הבעיה מבקשת למנות את בני הבקר, פרות ושוורים בארבעה צבעים, כשהיא משווה בין מספר בעלי החיים מכל מין וצבע. מכיוון שמספר בני הבקר מכל סוג הוא שלם, יוצרים התנאים מערכת של משוואות דיופנטיות בשמונה נעלמים.

פתרון הבעיה מעלה שגודל העדר הוא מספר בן 206544 ספרות לפחות. אפילו בגרסה מצומצמת, שבה יש תנאים לינאריים בלבד, כולל הפתרון הקטן ביותר כ-50 מיליון בני בקר.

היסטוריה

בעייתו של ארכימדס, שפרטיה נשכחו והתגלו רק במאה ה-18, הפכה לשם דבר: בעיה חישובית קשה במיוחד הייתה זוכה בספרות העתיקה לכינוי Problema Bovinum, "בעיית שוורים".

ב-1769 מונה המחזאי גוטהולד אפרים לסינג לספרן בספרייתו של ההרצוג אוגוסט שבעיירה וולפנביטל, גרמניה, שבה היו כתבי יד יווניים ורומיים רבים. ב-1773 פרסם לסינג תרגום של כמה מכתבי היד האלה, עם הערות. ביניהם נמצא שיר בן 22 בתים ביוונית עתיקה, המבקש למצוא את גודל עדר הבקר של אל השמש. בכותרת לשיר נאמר שהוא נשלח על ידי ארכימדס לאסטרונום הגדול ארטוסתנס, על מנת שהמתמטיקאים של אלכסנדריה ילמדו אותו. הבעיה לא נזכרה בכתבי המתמטיקאים היווניים, ולכן היו חוקרים, ולסינג ביניהם, שהטילו ספק בייחוסה לארכימדס.

הבעיה

גרסה מקוצרת של הבעיה פרסם נֶסֶלמן (Nesselmann) ב-1842, בגרמנית. גרסה זו מבקשת מן הקורא "... מנה את מספר בני-הבקר אשר לשמש, הרועים בסיציליה, וצבעים להם ארבעה: לבנים כחלב, שחורים, נקודים וחומים ...", ומספקת אילוצים כגון "מספר השוורים הלבנים יגדל במחצה ושליש [היינו ב-5 שישיות של] מספר השחורים ממספר החומים", וכן הלאה. המשוואות האלה מהוות מערכת משוואות לינארית שאפשר לפתור בקלות יחסית; מספרם הכולל של בני הבקר, לפיה, הוא כפולה של 50,389,082.

הבעיה ממשיכה: "אם תוכל, רעי, למנות את העדרים בזכר ובנקבה; באשר אף אם רב כחך במספר, לא יגיע עד הנה:", ומוסיפה עוד שני תנאים - מספר השוורים השחורים והלבנים, יחד, הוא ריבועי; ומספר הנקודים והחומים הוא משולשי. תנאים אלו מוסיפים זוג אילוצים ריבועיים, שאותם אפשר לתרגם למשוואת פל $\ x^{2}-Dy^{2}=1$, כאשר $\ D=4729494=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\cdot 29\cdot 353$. הופעה זו של משוואת פל, שלא הייתה ידועה במערב עד המאה ה-18, היא סיבה נוספת לחשוד שלא מדובר במתמטיקה בת דורו של ארכימדס.

כיוון שהבעיה דורשת חישוב במספרים מרובי ספרות, היא נותרה בלתי פתורה עד ש-A. Amthor תיאר ב-1880 דרך למצוא את הפתרון הכללי, העולה לכ-$\ 7.76\cdot 10^{206544}$ פרות ושוורים. חבילות-תוכנה מודרניות המסוגלות לאריתמטיקה במספרים גדולים, יכולות להציג את מאות אלפי הספרות של הפתרון, ללא קשיים מיוחדים.

מקורות

• Heinrich Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their history and solution; Dover ed. 1965, pp. 3-7
• H. W. Lenstra, Solving the Pell Equation. Notices of the American Mathematical Society 29 (2): 182–192, 2002

.