אפיציקלואיד

בגאומטריה, אפיציקלואיד הוא עקומה הנוצרת על ידי התחקות אחר הנתיב של נקודה נבחרת על היקף מעגל – המכונה "אפיציקל" – שמתגלגל סביב מעגל קבוע על היקפו. זהו סוג מסוים של רולטה.

משוואות

אם למעגל הקטן יש רדיוס r, ולמעגל הגדול יש רדיוס R, אזי ניתן לבטא את העקומה על ידי המשוואות הפרמטריות הבאות:

x (θ) = (R + r) \cos θ - r \cos (\frac{R + r}{r} θ)

y (θ) = (R + r) \sin θ - r \sin (\frac{R + r}{r} θ),

או, אם נסמן k=R/r:

x (θ) = r (k + 1) \cos θ - r \cos ((k + 1) θ)

y (θ) = r (k + 1) \sin θ - r \sin ((k + 1) θ) .

או, בהצגה במישור המרוכב^[1]:

z (θ) = r (e^{i (k + 1) θ} - (k + 1) e^{i θ})

כאשר בכל הנוסחאות, $θ \in [0, 2 π]$ .

שטח ומאפיינים נוספים

אם k, היחס בין הרדיוס של המעגל הקבוע לרדיוס המעגל שמסתובב עליו, הוא מספר שלם חיובי, אז השטח של האפיציקלואיד הוא

A = (k + 1) (k + 2) π r^{2} .

במקרה זה, העקומה סגורה, פשוטה, ויש לה k פינות חדות.

אם k הוא מספר רציונלי שניתן לכתיבה כשבר מצומצם כ-k=p/q עם q>1, אז העקומה סגורה, אינה פשוטה ויש לה p פינות. המעגל המסתובב מקיף את המעגל הקבוע q פעמים עד שהעקומה נסגרת.

אם k הוא מספר אי-רציונלי, העקומה לעולם לא תחזור על עצמה, והגרף שלה מהווה קבוצה צפופה בשטח שבין המעגל הקבוע (שרדיוסו R) לבין מעגל בעל רדיוס R+2r.

בכל המקרים, המרחק מראשית הצירים אל העקומה משתרע על הטווח שבין R ל- R+2r.