אבולוט

קובץ:Ellipse evolute.svg

אוולוט של אליפסה הוא אסטרואידה מתוחה בציר המשני של האליפסה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma:[0,L]\to\R^2} בפרמטריזציה טבעית, אֵווֹלוּט (Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה.

נוסחת האוולוט היא:

${\vec {E}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+R(s){\vec {n}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+{\frac {1}{k(s)}}{\vec {n}}(s)$

כאשר

• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} היא עקמומיות העקומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} – המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\vec v}{ds}=\vec{v}'(s)=k(s)\vec n(s)} , או בנוסחה מפורשת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(s)=\bigl\langle\vec\gamma''(s),\vec n(s)\bigr\rangle}
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R(s)=\frac1{k(s)}} הוא רדיוס העקמומיות
• הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec n(s)} הוא וקטור יחידה הניצב לוקטור המשיק לעקומה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v}(s) = \vec{\gamma}'(s)} ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לתאר את האוולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\tau,s)\longmapsto\vec F(\tau ,s)=\vec\gamma(s)+\tau\vec n(s)}

במקום זה, המתקבל עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=\frac{1}{k(s)}} , הנורמלים בנקודות קרובות אינפיניטסימלית נחתכים ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\tau,s)} לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע כי האוולוט הוא מעטפת כל הנורמלים לעקומה^{[דרושה הבהרה]}.

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(s),k'(s)\ne0} ) על האוולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_{s_1}^{s_2}|E'(s)|ds=\int\limits_{s_1}^{s_2}\left|\left(\frac{d}{ds}R'(s)\right)\vec n(s)\right|ds=\int\limits_{s_1}^{s_2}|R'(s)|ds=\bigg|\int\limits_{s_1}^{s_2}R'(s)ds\bigg|=\bigl|R(s_2)-R(s_1)\bigr|}

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} בקשת רגולרית,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\vec{E}'(s)=\gamma'(s)+R'(s)\vec n(s)+R(s)\vec{n}'(s)=\vec v(s)+R'(s)\vec n(s)-R(s)k(s)\vec v(s)=R'(s)\vec n(s)}}

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באוולוט נמצא בכרך ה־5 של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס מפרגה (בסביבות 200 לפס"נ), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

קישורים חיצוניים

• אבולוט, ב-MathWorld של אריק ויינשטיין
• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• Evolute on 2d curves.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0