אלומה קוואזי-קוהרנטית

במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלגברית, אלומה קוואזי-קוהרנטית על מרחב מחויג $ (X,{\mathcal {O}}_{X}) $ היא אלומת $ {\mathcal {O}}_{X} $-מודולים בעלת הצגה מקומית על-ידי יוצרים ויחסים. למושג זה יש הגדרה הרבה יותר מוחשית במקרה חשוב של סכמות. אלומות קוואזי-קוהרנטיות על סכמה מהוות קטגוריה אבלית.

הגדרה הסטנדרטית

יהי $ (X,{\mathcal {O}}_{X}) $ מרחב מחויג ותהי $ F $ אלומה של $ {\mathcal {O}}_{X} $-מודולים. האלומה $ F $ נקראת קוואזי-קוהרנטית אם לכל $ x\in X $ קיימת סביבה פתוחה $ U\ni x $ יחד עם סדרה מדויקת של $ {\mathcal {O}}_{U} $-מודולים $ {\displaystyle {\mathcal {O}}^{I}\to {\mathcal {O}}^{J}\to F|_{U}\to 0,} $ כאשר $ I,J $ קבוצות, לא בהכרח סופיות.

מורפיזמים של אלומות קוואזי-קוהרנטיות הם פשוט מורפיזמים של אלומות של $ {\mathcal {O}}_{X} $-מודולים. במקרה של מרחב מחויג כללי הקטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות לא בהכרח אבלית, לכן השימוש במושג אלומות קוואזי-קוהרנטיות בכלליות רחבה זאת אינו נפוץ. לעומת זאת, עבור סכמות, מושג זה מהווה כלי חשוב בגאומטריה אלגברית.

אלומות קוואזי-קוהרנטיות על סכמות

סכמות אפיניות

תהי $ (X,{\mathcal {O}}_{X}) $ סכמה אפינית. זה אומר כי $ X=Spec(A) $ כאשר $ A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}) $ חוג החתכים הגלובליים. כל $ A $-מודול $ M $ מגדיר אלומת $ {\mathcal {O}}_{X} $-מודולים $ {\tilde {M}} $ כך שלמשל $ {\mathcal {O}}_{X}={\tilde {A}} $. האלומה $ {\tilde {M}} $ קוואזי-קוהרנטית והתאמה זאת מגדירה שקילות בין קטגורית $ A $-מודולים לבין קטגורית האלומות הקוואזי-קוהרנטיות על $ X=Spec(A) $.

סכמות כלליות

תהי $ (X,{\mathcal {O}}_{X}) $ סכמה כללית. כיוון שתכונה להיות אלומה קוואזי-קוהרנטית נבדקת באופן מקומי, אנחנו מסיקים כי אלומת $ {\mathcal {O}}_{X} $-מודולים $ F $ קוואזי-קוהרנטית אם ורק אם לכל תת-קבוצב פתוחה אפינית $ U\subset X $ הצמצום $ F|_{U} $ הוא איזומורפי ל-$ {\tilde {M}} $ כאשר $ M=\Gamma (U,F) $.

תכונות של קטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות

• קטגוריה של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית בעלת מספיק אובייקטים אינייקטיביים
• מכפלה טנזורית של אלומות קוואזי-קוהרנטיות היא קוואזי-קוהרנטית.
• אם $ F $ אלומה קוהרנטית ואם $ G $ אלומה קוואזי-קוהרנטית, אז האלומה$ {\mathcal {H}}om(F,G) $ גם היא קוואזי-קוהרנטית.

לקריאה נוספת

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. מסת"ב 0-387-90244-9.

ראו גם

• אלומה קוהרנטית

קישורים חיצוניים

• אלומה קוואזי-קוהרנטית ב-Stacks Project
• אלומה קוואזי-קוהרנטית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• Andreas Gathmann, Quasi-coherent Sheaves

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אלומה קוואזי-קוהרנטית38880574