אלגברה ציקלית

באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.

הגדרה

לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.

הגדרה ישירה

תהי $\mathbb{𝕂}/\mathbb{𝔽}$ הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה $G=Gal(\mathbb{𝕂}/\mathbb{𝔽})=⟨\sigma ⟩$ מסדר $n$, ויהי $\beta \in {\mathbb{𝔽}}^{\times }$. נגדיר $A=\mathbb{𝕂}\oplus \mathbb{𝕂}z\oplus ...\oplus \mathbb{𝕂}{z}^{n-1}$ (כמרחב וקטורי עם בסיס $\{1,z,...,z^{n-1}\}$), עם פעולת הכפל:

$(a{z}^i)(b{z}^j)=\{\begin{array}{l}a{\sigma }^i(b)z^{i+j}i+j<n\\ \beta a{\sigma }^i(b)z^{i+j-n}i+j\ge n\end{array}$

בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת $(\mathbb{𝕂},\sigma ,\beta )$. (להוכחת טענות אלו ראו [Row]).

הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימלי

תהי $A$ אלגברה פשוטה מרכזית מעל $\mathbb{𝔽}$. נאמר ש-$A$ אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי) $\mathbb{𝔽}\subseteq \mathbb{𝕂}\subseteq A$ המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

הגדרה באמצעות יוצרים ויחסים

אלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: $A=⟨\mathbb{𝕂},y|y^m=\beta ,ay=y\sigma (a)\mathrm{\forall }a\in \mathbb{𝕂}⟩$.

שקילות ההגדרות

ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:

משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית $A$ היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

סקירת ההוכחה: בכיוון $\Rightarrow$, תהי $G=⟨\sigma ⟩$ חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש $z$ כך ש-$za{z}^{-1}=\sigma (a)$, ולכן גם $\mathrm{\forall }i:z^{i}a={\sigma }^i(a)z^i$. לכן $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{𝕂}:z^{n}a={\sigma }^n(a)z^n=a{z}^n$, כלומר $z^n$ שייך למרכז שהוא $\mathbb{𝕂}$, כלומר $z^n=\beta$, ומתקיים $A\cong (\mathbb{𝕂},\sigma ,\beta )$.

שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:

משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית $A$ היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה $A=⟨\mathbb{𝕂},y|y^m=\beta ,ay=\sigma (a)y\mathrm{\forall }a\in \mathbb{𝕂}⟩$ (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).

סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם $\sigma$ של K הוא הצמדה באיבר כלשהו $y$: $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{𝕂}:y^{-1}xy=\sigma (x)$. נגדיר $\beta =y^m$, ונוכיח כי $y^m\in \mathbb{𝔽}$: משום ש-$x={\sigma }^m(x)=y^{-m}x{y}^m$, כלומר $y^m\in K$; הפעלת ההצמדה על $y^m$ מראה כי $\sigma (y^m)=y^m$, ולכן $y^m\in \mathbb{𝔽}$. כעת, קל לבדוק כי $1,...,y^{m-1}$ בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.

דוגמאות

• יהי $\mathbb{𝔽}$ שדה, ויהי $m$ הפיך בשדה. עוד נניח כי $\mathbb{𝔽}$ מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר $m$, נסמנו $\omega$. נגדיר $(a,b{)}_{\omega }=⟨x,y|x^m=a,y^m=b,xy=\omega yx⟩$. מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר $m=2,\omega =-1$.

לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה $\mathbb{𝔽}(\sqrt[m]{a})$. כל האלגברות הציקליות עבור $b\in {\mathbb{𝔽}}^{\times }$ הן בדיוק $(a,b{)}_{\omega }$, עבור כל שורש יחידה $m$-פרימיטיבי $\omega$.

• יהי $\mathbb{𝔽}$ שדה ממאפיין ראשוני $p$, ויהי $m=p$. עבור $a,b\in {\mathbb{𝔽}}^{\times }$, נביט ב-$[a,b)=⟨x,y|x^p-x=a,y^p=b,xy=y(x+1)⟩$. קל לראות שכל שורש של הפולינום $x^p-x-a$ מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה $\mathbb{𝔽}[\alpha ]$ עבור אלפא עם שורש מינימלי $x^p-x-a=0$.

מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור $b$ הן מהצורה $[a,b)$.

ראו גם

• אלגברה פשוטה מרכזית
• משפט סקולם-נתר

לקריאה נוספת

• [Row]; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464

• [GS]; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אלגברה ציקלית29939372Q56351016