אי-שוויון המשולש

במתמטיקה, אי-שוויון המשולש הוא אי-שוויון מהצורה $d (A, C) \leq d (A, B) + d (B, C)$ , כאשר $d (\cdot, \cdot)$ היא פונקציית מרחק. אי-השוויון מתאר את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות; בפרט, אורכה של צלע במשולש אינו עולה על סכום אורכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש נחשב לתכונה יסודית של כל שיטה למדידת מרחק, ומשום כך מניחים, כאקסיומה, שהוא מתקיים בכל מרחב מטרי או נורמי. הגרסה החזקה $d (A, C) \leq \max {d (A, B), d (B, C)}$ נקראת אי-שוויון המשולש למטריקות לא ארכימדיות.

אי-שוויון המשולש בין מספרים ממשיים

ניתן לראות את אי-שוויון המשולש במספרים הממשיים כמקרה פרטי של אי-השוויון על הישר הממשי. כיוון שהמרחק בין שתי נקודות על הישר נמדד באמצעות הערך המוחלט, אי-השוויון במקרה זה שקול ל- $| a - c | \leq | a - b | + | b - c |$ , לכל $a, b, c \in R$ .

כשבוחרים c=0, b=y ו- a=x+y, מתקבלת הצורה החלופית $| x + y | \leq | x | + | y |$ . צורה זו אפשר להוכיח בעזרת חיבור שני האי-שוויונים $- | x | \leq x \leq | x |$ ו- $- | y | \leq y \leq | y |$ , או בדיקה של האפשרויות השונות לסימנים של x ושל y.

גרסה נוספת של אי-שוויון המשולש היא: $| | x | - | y | | \leq | x - y |$ .

הוכחה פורמלית

לצורך הוכחת אי השוויון נשתמש בתכונות $| a | = | - a |$ ו- $a \leq | a |$ . אם $x + y \geq 0$ אז $| x + y | = x + y \leq | x | + | y |$ . אחרת, $x + y < 0$ ומכאן $| x + y | = - x - y \leq | - x | + | - y | = | x | + | y |$ ולכן $| x + y | \leq | x | + | y |$ .

דרך נוספת היא להשתמש בשוויון $| a | = \max {a, - a}$ , ואז $| x + y | = \max {x + y, - x - y} \leq \max {| x | + | y |, | - x | + | - y |} = \max {| x | + | y |, | x | + | y |} = | y | + | x |$ .

המקרה המרוכב

אי-שוויון המשולש במישור המרוכב הוא הטענה $| x + y | \leq | x | + | y |$ , המתייחסת למספרים מרוכבים. ניתן להוכיח את נכונותו שם בכמה דרכים: גאומטרית, הוא שקול לתכונות היסוד של משולש; אלגברית, אפשר לקבל אותו על ידי העברת אגפים מתאימה והעלאה בריבוע; וניתן להסיק אותו מאי-השוויון הממשי באמצעות משפט פיתגורס.