אי-שוויון יאנג

במתמטיקה, אי-שוויון יאנג (באנגלית: Young's inequality for products) הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים. אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ויליאם הנרי יאנג . אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.

אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים $a,b\ge 0$, מתקיים: $$ab\le \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}$$

במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים $a,b\ge 0$, ועבור $p,q\ge 1$ כך ש $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$,

$$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

השוויון מתקבל אם ורק אם $a^p=b^q$.

הוכחה עבור חזקה 2

עבור a ו b ממשיים, $$0\le (a-b{)}^2$$ נפתח את הסוגריים, ונקבל: $$0\le a^2-2ab+b^2$$ נחבר $2ab$ לשני הצדדים, $$2ab\le a^2+b^2$$ ולבסוף, נחלק ב $2$ : $$ab\le \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}$$

הוכחה למקרה הכללי

נשתמש באי-שוויון ינסן. כאשר $a=0$ או $b=0$ אי השוויון מתקיים. נניח ש $a>0$ וגם $b>0$. נגדיר $t=1/p$. נקבל ש $(1-t)=1/q$.

בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שוויון ינסן, ולקבל: $$\ln (t{a}^p+(1-t)b^q)\ge t\ln \left(a^p\right)+(1-t)\ln \left(b^q\right)=\ln (a)+\ln (b)=\ln (ab)$$ נקח אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל $$t{a}^p+(1-t)b^q\ge ab$$ נציב את $t$ ונקבל את אי-שוויון יאנג.

קישורים חיצוניים

• אי-שוויון יאנג, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון יאנג39440617Q910563